Мальчики и девочки образовали хоровод таким образом, что число детей, у которых сосед справа – того же пола, равно числу детей, у которых сосед справа — другого пола. Каково может быть число всех детей в хороводе?
Решение. Пусть n — число детей, справа от которых стоит ребенок другого пола, а m — число детей, справа от которых стоит ребенок того же пола. Изначально 
то есть общее количество детей 
четно. Будем менять местами двух рядом стоящих детей так, чтобы мальчики собрались все подряд с одной стороны хоровода, а девочки с другой. Тогда n станет равно 2. При каждой такой перестановке детей числа n и m либо не меняются, либо одно из них увеличивается на 2, а второе уменьшается на 2. Это значит, что остаток от деления разности 
на 4 не меняется. Изначально этот остаток был равен 0.
Если всего детей 
и 
то 
Тогда 
Для того, чтобы остаток от деления 
на 4 был равен нулю, надо, чтобы k делилось на 2. То есть общее число детей должно быть крат но 4.
Ответ: любое натуральное число, кратное четырем.
Спрятать критерииКритерии проверки:| Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями. |
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Ответ: любое натуральное число, кратное четырем.
