РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2200 Добавить в вариант

На столе лежат шары радиусов 2, 2, 1, касаясь друг друга внешним образом. Вершина конуса находится посередине между точками касания одинаковых шаров со столом, а сам конус касается внешним образом всех шаров. Найдите угол при вершине конуса. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.

Спрятать решение

Решение.

Пусть O₁, O₂, O₃  — центры шаров, A₁, A₂, A₃  — точки касания шаров со столом, C  — вершина конуса, 2α — угол при его вершине, $\varphi=\angle O_1 C A_1$ и $\psi=\angle O_3 C A_3.$ Из условия касания шаров $C A_1=2$ и

$A_1 A_3=A_2 A_3= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2 плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента .$

Тогда

$C A_3= корень из: начало аргумента: A_1 конец аргумента A_3 в квадрате минус C A_1 в квадрате =2$

$тангенс \psi= дробь: числитель: O_3 A_3, знаменатель: C A_3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Кроме того, $O_1 A_1=2=C A_1,$ откуда $\varphi=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Выберем на оси симметрии конуса точку K так, что ее проекция H на плоскость $C O_1 O_2$ попадает на отрезок O₁O₂ (см. верхний рисунок). Образующие, по которым конус касается одинаковых шаров, лежат в плоскостях KCO₁ и KCO₂, откуда

$\angle K C O_1=\angle K C O_2=\varphi плюс альфа =45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа .$

Кроме того, $C O_1=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =C O_2.$ Отметим несколько простых фактов.

1)  Точка H  — точка касания равных шаров. Действительно, треугольники KCO₁ и K₂O₂ равны, откуда $K O_1=K O_2.$ Так как отрезок KH перпендикулярен стороне O₁O₂, мы получим $H O_1=H O_2.$

2)  Плоскость KCH перпендикулярна O₁O₂. Действительно, треугольник O₁CO₂ равнобедренный, а H  — середина O₁O₂, откуда отрезок CH перпендикулярен стороне O₁O₂. Очевидно также, что KH и O₁O₂ перпендикулярны.

3)  Если KM  — перпендикуляр, опущенный из точки K на CO₁, то отрезок MH перпендикулярен стороне CO₁. Это вытекает из обратной теоремы о трех перпендикулярах.

Пусть KM  — перпендикуляр, опущенный из точки K на CO₁. Из 1) и 2) вытекает, что прямая CH касается равных шаров, поэтому

$\angle O_1 C H=\angle O_1 C A_1=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Тогда в силу 3)

$косинус \angle H C K= дробь: числитель: C H, знаменатель: C K конец дроби = дробь: числитель: C M, знаменатель: косинус \angle O_1 C H конец дроби : дробь: числитель: C M, знаменатель: косинус \angle K C O_1 конец дроби = дробь: числитель: косинус \angle K C O_1, знаменатель: косинус \angle O_1 C H конец дроби = дробь: числитель: косинус левая круглая скобка 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка , знаменатель: косинус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = косинус альфа минус синус альфа .$ $косинус \angle H C K= дробь: числитель: C H, знаменатель: C K конец дроби = дробь: числитель: C M, знаменатель: косинус \angle O_1 C H конец дроби : дробь: числитель: C M, знаменатель: косинус \angle K C O_1 конец дроби =$
$= дробь: числитель: косинус \angle K C O_1, знаменатель: косинус \angle O_1 C H конец дроби = дробь: числитель: косинус левая круглая скобка 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка , знаменатель: косинус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = косинус альфа минус синус альфа .$

С другой стороны, в силу 1) и 2) плоскость HCK состоит из точек, равноудаленных от O₁ и O₂. Значит, HCK содержит точку O₃. Тогда (см. нижний рисунок)

$косинус альфа минус синус альфа = косинус \angle H C K= косинус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 \psi минус альфа правая круглая скобка = синус левая круглая скобка 2 \psi плюс альфа правая круглая скобка = синус 2 \psi косинус альфа плюс косинус 2 \psi синус альфа ,$ $косинус альфа минус синус альфа = косинус \angle H C K= косинус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 \psi минус альфа правая круглая скобка =$
$= синус левая круглая скобка 2 \psi плюс альфа правая круглая скобка = синус 2 \psi косинус альфа плюс косинус 2 \psi синус альфа ,$

откуда

$тангенс альфа = дробь: числитель: 1 минус синус 2 \psi, знаменатель: 1 плюс косинус 2 \psi конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка синус \psi минус косинус \psi правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 косинус в квадрате \psi конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка тангенс \psi минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$

Ответ: $2 \arcctg 8.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Конус, Геометрия: стереометрия. Сфера, шар, комбинации шаров, Методы геометрии. Теорема Пифагора, Методы геометрии. Тригонометрия в геометрии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь