На столе лежат два шара радиусов 4 и 1 с центрами O1 и O2, касаясь друг друг внешним образом. Конус касается боковой поверхностью стола и обоих шаров (внешним образом). Вершина C конуса находится на отрезке, соединяющем точки касания шаров со столом. Известно, что лучи CO1 и CO2 образуют равные углы со столом. Найдите угол при вершине конуса. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
Пусть A1, A2 — точки касания шаров со столом, 2α — угол при вершине конуса. По условию углы O1CA1 и O2CA2 равны, обозначим их общее значение через 
Заметим, что точки O1, O2, A1, A2, C лежат в одной плоскости, поскольку O1A1 и O2A2 параллельны, а C принадлежит отрезку A1A2. Тогда
Выберем на оси симметрии конуса точку K так, что ее проекция H на плоскость CO1O2 попадает на от резок O1O2 (см. верхний рисунок). Образующие, по которым конус касается одинаковых шаров, лежат в плоскостях KCO1 и KCO2, откуда
Опустим из точки K перпендикуляры KM и KN на CO1 и C2 соответственно. Прямоугольные треугольники KCM и KCN равны, поэтому 
Отметим несколько простых фактов.
1) Отрезок MH перпендикулярен отрезку CO1 и отрезок NH перпендикулярен отрезоку CO2. Это вытекает из обратной теоремы о трех перпендикулярах.
2) Угол MCH равен углу NCH. Действительно, в силу 1) прямоугольные треугольники MCH и NCH равны по гипотенузе и катету, поэтому и их соответствующие углы равны. Обозначим общее значение углов MCH и NCH через ψ.
3) Прямая СН перпендикулярна столу. Действительно, 
откуда
Поэтому прямая CH параллельна A1O1 и, значит, перпендикулярна столу.
Из 1) с учетом (*) мы получаем
Луч CK образует со столом угол 
и из 3) вытекает, что 
Поэтому
Ответ: 