В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C точки P и Q — середины биссектрис, проведенных из вершин A и B. Вписанная в треугольник окружность касается гипотенузы в точке H. Найдите угол PHQ.
Докажем сначала следующую лемму.
Лемма. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC 
I — точка пересечения биссектрис AM и BK, S — середина KM, вписанная в треугольник окружность касается гипотенузы в точке H. Тогда точки S, I и H лежат на одной прямой.
Доказательство. Обозначим через D и E проекции точек K и M на гипотенузу AB (см. рис.). Тогда 
по гипотенузе и острому углу, следовательно, 
то есть KB — биссектриса внешнего угла 
а AI — биссектриса его внутреннего угла. Значит, I — центр вневписанной окружности поэтому DI — биссектриса угла KDE. Аналогично доказывается, что EI является биссектрисой угла MDE. Таким образом, 
—
Пользуясь леммой, докажем теперь, что 
Пусть R — середина гипотенузы AB. Тогда PS и RQ являются средними линиями в треугольниках 
и 
поэтому PS, AK и QR — параллельны между собой, также 
значит, PSQR — параллелограмм. Более того, 
так как его стороны сонаправлены сторонам угла 
Значит, PSQR — прямоугольник. Обозначим через 
окружность, описанную около прямоугольника PSQR. Из леммы следует, что 
Поскольку 
точка H лежит на окружности 
Следовательно, 
(как вписанные углы, опирающиеся н а диаметр PQ).
Ответ: 