РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2288 Добавить в вариант

На каждую грань куба установлена правильная 4-угольная пирамида, основанием которой является эта грань куба. Все пирамиды равны.

а)  Могут ли боковые ребра трех пирамид, исходящие из одной вершины куба, лежать в одной плоскости? Если это возможно, найдите высоты таких пирамид, выразив их через длину α ребра куба. Если это невозможно, приведите доказательство.

б)  Могут ли указанные в п. а) тройки ребер лежать в плоскостях (каждая тройка  — в своей плоскости) одновременно для всех вершин куба?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим произвольную вершину куба A, вершины пирамид, соединенные с ней ребрами, O₁, O₂, O₃.

Введем систему координат, поместив ее начало в точку A и направив оси AX, AY и AZ вдоль сторон куба. Пусть основание пирамиды с вершиной $O_1$ лежит в плоскости AXY, основание пирамиды с вершиной $O_2$   — в плоскости AXZ и пирамиды с вершиной O₃  — в плоскости AYZ.

Пусть ребро куба равно $2c,$ высота пирамид равна h. Тогда координаты вершин пирамид будут

$O_1 левая круглая скобка c, c , минус h правая круглая скобка ,$ $O_2 левая круглая скобка c, минус h, c правая круглая скобка ,$ $O_3 левая круглая скобка минус h, c, c правая круглая скобка .$

Обозначим через B вершину куба с координатами $левая круглая скобка 2 c, 0,2 c правая круглая скобка$ (т. е. на диагональ AB проецируется вершина $O_2 правая круглая скобка .$ В силу симметрии сумма векторов $A O_1 плюс A O_3$ будет лежать в плоскости ABY. В этой же плоскости лежит вектор $A O_2.$ Если вершины O₁, O₂, O₃ лежат в одной плоскости, то пересечением этой плоскости с плоскостью ABY должна быть прямая.

Следовательно, вершины пирамид будут лежать в одной плоскости, если вектора

$A O_1 плюс A O_3= левая круглая скобка c минус h, 2 c, c минус h правая круглая скобка$

и $A O_2= левая круглая скобка c, минус h, c правая круглая скобка$ коллинеарные.

Из условий коллинеарности

$дробь: числитель: c минус h, знаменатель: c конец дроби = дробь: числитель: 2 c, знаменатель: минус h конец дроби = дробь: числитель: c минус h, знаменатель: c конец дроби$

получаем, что должно выполняться $h левая круглая скобка h минус c правая круглая скобка =2 c в квадрате ,$ откуда либо $h= минус c,$ либо $h=2 c.$ Первый корень не подходит согласно геометрическому смыслу h.

Осталось вспомнить, что заданная в условии величина $a=2 c.$ Ответ на вопрос Б) очевиден в силу симметрии.

Ответ: в а) и в б) могут, если высоты всех пирамид равны a.

Олимпиада школьников Надежда энергетики, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Комбинации многогранников, Методы геометрии. Применение векторов и/или координат

Спрятать решение · Помощь