Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Имеется 11 не обязательно различных натуральных чисел 
Докажите, что существуют целые числа 
≡
не все равные нулю, такие, что число 
делится нацело на 2047.
Решение.
Для каждого из всевозможных различных наборов коэффициентов 
рассмотрим сумму вида 
Таких наборов (а значит, и сумм) 
штук. Поэтому по крайней мере две суммы, 
и 
дают одинаковые остатки от деления на 2047. Следовательно, их разность делится на 2047: 
Искомые целые числа найдены: 
Утверждение доказано.
?
Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 годКлассификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости