сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA_1B_1C_1D_1 диа­го­наль CA_1, рав­ная d, на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60° и об­ра­зу­ет угол 45° с плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через диа­го­наль AC_1 и се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра BB_1. Най­ди­те пло­щадь ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если P и Q  — се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD1 и BB1, то PQ па­рал­лель­на BD и плос­кость (AQC1) па­рал­лель­на (BD). Про­ве­дем (MN) па­рал­лель­но BD, при A при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка MN пра­вая круг­лая скоб­ка , CK пер­пен­ди­ку­ляр­но (MN) и CF пер­пен­ди­ку­ляр­но KC1. Так как CF пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти(AKC1), то \angle COF= гамма   — за­дан­ный в усло­ви­ях угол между диа­го­на­лью CA1 и плос­ко­стью (AQC1). За­дан­ный угол между диа­го­на­лью CA1 и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен \angle C A C_1= альфа .

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке COF: CF=CO умно­жить на синус \angle C O F, т. е. CF= дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на синус гамма . В тре­уголь­ни­ке CKC1: дробь: чис­ли­тель: CK, зна­ме­на­тель: CC_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CF, зна­ме­на­тель: FC_1 конец дроби , от­сю­да: CK= дробь: чис­ли­тель: CC_1 умно­жить на CF, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CC_1 в квад­ра­те минус C F в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби . Так как CC_1=d умно­жить на синус альфа , то

C K= дробь: чис­ли­тель: d умно­жить на синус альфа умно­жить на d умно­жить на синус гамма , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d в квад­ра­те синус в квад­ра­те альфа минус дробь: чис­ли­тель: d в квад­ра­те синус в квад­ра­те гамма , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: d умно­жить на синус альфа умно­жить на синус гамма , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 синус в квад­ра­те альфа минус синус в квад­ра­те гамма конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Пло­щадь ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна S= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на B D умно­жить на C K. Так как BD=AC=d умно­жить на ко­си­нус альфа , то

S= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на d умно­жить на ко­си­нус альфа умно­жить на дробь: чис­ли­тель: d умно­жить на синус альфа умно­жить на синус гамма , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 синус в квад­ра­те альфа минус синус в квад­ра­те гамма конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус альфа умно­жить на ко­си­нус альфа умно­жить на синус гамма , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 синус в квад­ра­те альфа минус синус в квад­ра­те гамма конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на d в квад­ра­те .

При альфа =60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка и гамма =45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка по­лу­чим:

S= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2 умно­жить на 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

?
Олимпиада: Олим­пи­а­да Шаг в бу­ду­щее

Cсылка на сайт олим­пи­а­ды: https://olymp.bmstu.ru/ru

Класс: 11
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024