За два дня 100 банкиров собрали средства для борьбы с новым вирусом. Каждый из них внес однократно целое количество тысяч рублей, не превосходящее 200. При этом каждый взнос в первый день не превосходил 100 тысяч, а во второй был больше этой величины; и никакая пара из всех 100 взносов не отличалась ровно на 100 тысяч. Какую сумму собрали?
Решение. Решение существенно зависит от того, были ли все взносы различны или могли повторяться.
Пусть, сначала, все взносы различны. Любое натуральное число, большее 100, но не превосходящее 200, можно представить в виде 
где 
По условию нет двух чисел, отличающихся ровно на 100, а значит n принимает все оставшиеся от первых 50 чисел значения. Поэтому сумма всех 100 чисел равна
Если взносы могли повторяться, то однозначного ответа дать невозможно, но можно произвести оценки. Заметим, что согласно условию в каждый день был хотя бы один взнос. Наименьшая сумма получится, если в первый день было 99 взносов по 1, а во второй день — один взнос 102 (101 быть не может). Суммарно получаем 
Наибольшая сумма получится, если в первый день был 1 взнос, равный 99, а во второй день — 99 взносов по 200.
Суммарно получаем
Ответ: если все взносы различны, то собрали 10 050 тысяч, если нет, то минимально возможная сумма равна 201 тысяч, максимально возможная — 19 899 тысяч.
Спрятать критерииКритерии проверки:| Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями. |
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Ответ: если все взносы различны, то собрали 10 050 тысяч, если нет, то минимально возможная сумма равна 201 тысяч, максимально возможная — 19 899 тысяч.
