Мистер A час простоял в точке с координатами (0, 0). За этот же час, двигаясь равномерно и прямолинейно, мистер B дошел от точки (22, 0) до точки (2, 20). За этот же час мадемуазель C, тоже двигавшаяся равномерно и прямолинейно, прошла от точки (30, 4) до точки (0, 24). Сколько раз за указанный период наблюдения принимала целые значения площадь треугольника ABC? Начальный и конечный момент включаются.
Неформально говоря, проблема в этой задаче не в том, чтобы найти путь вычислений, приводящий к ответу; а в том, чтобы найти путь к ответу, проходящий через не слишком большое количество промежуточных вычислений. Покажем, как это сделать.
Как известно, площадь треугольника, образованного векторами 
и 
равна 
Если точка 
движется равномерно и прямолинейно, то ее координаты зависят от времени t как 
Тогда величина 
как функция от t является многочленом второй степени. Выберем ось времени так, чтобы ноль был в середине отрезка наблюдения, а начальный и конечный моменты имели координаты −1 и 1 соответственно. Обозначим 
Координаты точек B и C в середине отрезка наблюдения легко считаются, это (12, 10) и (15, 14) соответственно. Итак,
Откуда
Минимум квадратного трехчлена достигается в точке
Итак, мы видим, что минимум выражения 
попал на отрезок наблюдения, кроме того он положителен, то есть модуль равен выражению под модулем. Итого, искомая площадь сначала уменьшалась от 44 до 8, потом росла от 8 до 24, таким образом принимая целые значения 
раза.
Ответ: 53.