сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Даны две ше­сти­уголь­ные пи­ра­ми­ды и одна тре­уголь­ная, при­чем бо­ко­вые грани всех пи­ра­мид оди­на­ко­вы. Пи­ра­ми­ды уда­лось скле­ить внеш­ним об­ра­зом «без за­зо­ров», то есть так, что любые две пи­ра­ми­ды имеют общую грань. Най­ди­те плос­кий угол при вер­ши­не пи­ра­мид.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим одну из ше­сти­уголь­ных пи­ра­мид через SABCDEF, где S  — вер­ши­на. По усло­вию все пи­ра­ми­ды имеют общее бо­ко­вое ребро (пред­по­ло­жим, что это BS). Пусть \varphi и ψ — углы между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми со­от­вет­ствен­но ше­сти­уголь­ной и тре­уголь­ной пи­ра­мид. Пе­ре­се­чем всю кон­струк­цию плос­ко­стью, пер­пен­ди­ку­ляр­ной ребру BS. В се­че­нии по­лу­чат­ся три плос­ких угла, рав­ных углам между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­мид, то есть \varphi,  \varphi и ψ. Ввиду от­сут­ствия «за­зо­ров» 2 \varphi плюс \psi=2 Пи , от­ку­да  ко­си­нус 2 \varphi= ко­си­нус \psi.

Най­дем углы \varphi и ψ. Пусть  альфа =\angle A S B и a=A B, O  — центр ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF. Опу­стим из точек A и C пер­пен­ди­ку­ля­ры на ребро BS. Они при­дут в одну точку K, при­чем A K=C K, так как тре­уголь­ни­ки ASB и BSC равны.

За­ме­тим, что тре­уголь­ник OAB пра­виль­ный, а AC  — его удво­ен­ная вы­со­та, то есть A C=a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

 ко­си­нус \varphi= дробь: чис­ли­тель: 2 A K в квад­ра­те минус A C в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 A K в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 a в квад­ра­те синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 a в квад­ра­те синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 3, зна­ме­на­тель: 2 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус альфа минус 2, зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа плюс 1 конец дроби .

Ана­ло­гич­ные вы­чис­ле­ния для тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды дают

 ко­си­нус \psi= дробь: чис­ли­тель: 2 a в квад­ра­те синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 a в квад­ра­те синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа плюс 1 конец дроби .

По­это­му

 ко­си­нус 2 \varphi= ко­си­нус \psi рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус альфа минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус альфа плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби минус 1 = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа плюс 1 конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те альфа минус 10 ко­си­нус альфа плюс 7= ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс ко­си­нус альфа ,

от­ку­да  ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби .

 

Ответ:  арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби .