РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2405 Добавить в вариант

Вне параллелограмма ABCD выбрана такая точка M, что $\angle BAM = \angle BCM.$ Точки D и M лежат по разные стороны от прямых AB и BC. Какой из углов AMB и CMD больше?

Спрятать решение

Решение.

Достроим треугольник ABM до параллелограмма ABMN (см. рисунок). Заметим, что треугольник CBM получается параллельным переносом треугольник DAN на вектор $\overrightarrowA B.$ Значит, эти треугольники равны и сторона DN параллельна стороне CM. Тогда

$\angle A D N=\angle B C M=\angle B A M=\angle A M N,$

то есть четырехугольник ADMN вписанный. Поэтому

$\angle A M B=\angle N A M=\angle N D M=\angle C M D.$

Ответ: углы равны.

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Четырехугольник: параллелограмм, Методы геометрии. Применение векторов и/или координат

Спрятать решение · Помощь