В общем виде: до­ка­жем, что сумма ра­ди­ус – век­то­ров пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка равна

Решим за­да­чу через сло­же­ние век­то­ров. Угол между со­сед­ни­ми век­то­ра­ми равен А если при­ло­жить век­тор к концу век­то­ра (пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка), то по­лу­чив­ший­ся угол будет равен

Такой же угол будет и между со­сед­ни­ми сто­ро­на­ми пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка. Таким об­ра­зом, если скла­ды­вать век­то­ры и то по­лу­чат­ся две сто­ро­ны пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка (см. рис. верх­ний), если к концу вто­ро­го век­то­ра при­ло­жить век­тор (пра­ви­ло мно­го­уголь­ни­ка), то по­лу­чат­ся три сто­ро­ны пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка и т. д. В ре­зуль­та­те, если сло­жить все n век­то­ров, то по­лу­чит­ся пра­виль­ный n-уголь­ник, и, по пра­ви­лу n-уголь­ни­ка, сумма век­то­ров будет равна

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние (через по­во­ро­ты).

Пусть сумма век­то­ров равна век­то­ру (см. рис. ниж­ний). За­ме­тим, что:

Сде­ла­ем по­во­рот пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка с цен­тром в точке О на угол на­при­мер, на угол (можно по­вер­нуть на угол, крат­ный ). При этом век­тор пе­рейдёт в век­тор век­тор   — в век­тор и т. д., век­тор   — в B ре­зуль­та­те n-уголь­ник пе­рейдёт сам в себя, сле­до­ва­тель­но, сумма век­то­ров

не из­ме­нит­ся, а сум­мар­ный век­тор пе­рейдёт в век­тор Если то век­тор т. к. они не­кол­ли­не­ар­ны. Един­ствен­ный ва­ри­ант, когда это