Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние:

По­лу­чи­лось объ­еди­не­ние двух пря­мых: y  =  x + 2 и y  =  4 − x (рис. 5.1).

Рас­смот­рим вто­рое урав­не­ние:

—  при a < 0 по­лу­ча­ет­ся пу­стое мно­же­ство;

—  при a  =  0 по­лу­ча­ет­ся одна точка O(4; -1);

—  при a > 0 по­лу­ча­ет­ся се­мей­ство окруж­но­стей с цен­тром в точке O(4; -1) и ра­ди­у­сом (r²  =  a).

Нечётное число ре­ше­ний может быть в одном из трёх слу­ча­ев:

—  при : окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мой y  =  4 − x, при этом зна­че­нии a си­сте­ма имеет одно ре­ше­ние;

—  при : окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мой y  =  x + 2, при этом зна­че­нии a си­сте­ма имеет 3 раз­лич­ных ре­ше­ния (две точки пе­ре­се­че­ния с пря­мой y  =  4 − x и одну точку пе­ре­се­че­ния с пря­мой y  =  x + 2);

—  при a  =  25 (r  =  5): окруж­ность про­хо­дит через точку C(1; 3) пе­ре­се­че­ния пря­мых y  =  4 – x и y  =  x + 2, при этом зна­че­нии a си­сте­ма имеет 3 раз­лич­ных ре­ше­ния (точка C и ещё по одной точке пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти с каж­дой из пря­мых).

Клю­че­вые по­ло­же­ния окруж­но­стей изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке. Зна­че­ния и a  =  25 (r  =  5) можно найти раз­лич­ны­ми как гео­мет­ри­че­ски­ми, так и ал­геб­ра­и­че­ски­ми спо­со­ба­ми, ко­то­рые хо­ро­шо из­вест­ны пре­по­да­ва­те­лям.

Ответ: при при при