Рассмотрим всевозможные приведенные квадратные трёхчлены x2 + px + q с целыми коэффициентами p и q. Назовём областью значений такого трехчлена множество его значений во всех целых точках x = 0, ±1, ±2, . . . . Какое наибольшее количество таких трехчленов можно выбрать, чтобы их области значений попарно не пересекались?
Заметим, что замена переменной x → x + k при любом целом k не меняет области значений многочлена. Тогда, сделав замену x → x − 
(квадратные скобки означают целую часть) можем считать, что любой многочлен имеет один из двух видов: x2 + q или x2 + x + q.
Области значений любых двух многочленов разного вида пересекаются: в самом деле, значения многочленов x2 + q и x2 + x + q' совпадают при x = q − q'. Значит, многочлены разного вида брать нельзя.
Многочленов первого вида можно выбрать не больше двух, поскольку если области значений f1(x) = x2 + q и f2(x) = x2 + q' не пересекаются, то q − q' = 4k + 2 при некотором k ∈ Z. В самом деле, для нечетной разности свободных членов q − q' = 2k + 1 имеем f1(k) = f2(k + 1). Для делящейся на 4 разности свободных членов q − q' = 4k имеем f1(k − 1) = f2(k + 1). Но если выбрано хотя бы три многочлена, то среди попарных разностей свободных членов хотя бы одна не имеет вид 4k + 2.
Многочленов второго вида тоже можно выбрать не больше двух, поскольку если области значений f1(x) = x2 + x + q и f2(x) = x2 + x + q' не пересекаются, то q − q' = 2k + 1 при некотором k ∈ Z. В самом деле, для четной разности свободных членов q − q' = 2k имеем f1(k − 1) = f2(k). Опять же, если выбрано хотя бы три многочлена, то среди попарных разностей свободных членов хотя бы одна четна.
Итак, больше двух многочленов выбрать нельзя. Пример для двух: f1(x) = x2 и f2(x) = x2 + 2.
Ответ: 2.