РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2432 Добавить в вариант

В шестнадцатеричной системе $x = 31 \ldots 31,$ где блок 31 повторяется n раз. При каких n число x будет точным квадратом?

Спрятать решение

Решение.

Так как $31_16=49=7 в квадрате ,$ случай $n=1$ нам подходит. Пусть $n больше 1.$ Ясно, что $x \vdots 49$ и $дробь: числитель: x, знаменатель: 49 конец дроби =z в квадрате ,$ где

$z в квадрате =1 плюс 256 плюс 256 в квадрате плюс \ldots плюс 256 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 16 в степени левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 255 конец дроби ,$

откуда

$3 умножить на 5 умножить на 17 умножить на z в квадрате = левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка .$

Множители в правой части попарно взаимно просты, поскольку пары чисел $2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \pm 1,$ $4 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \pm 1$ и $16 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка \pm 1$ нечетны и различаются на 2. Так как этих множителей четыре, хотя бы один из них не делится на 3, 5, 17 и потому является точным квадратом. Рассмотрим два случая.

1)  Число $2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1$   — точный квадрат, то есть $2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1=p в квадрате .$ Тогда

$2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 2= левая круглая скобка p в квадрате минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка .$

Ввиду нечетности p правая часть делится на 8, тогда как левая не делится на 4 при $n больше 1.$

2)  Одно из чисел $2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1,$ $4 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1,$ $16 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1$   — точный квадрат. Все эти числа имеют вид $2 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка плюс 1,$ где $m принадлежит левая фигурная скобка n, 2 n, 4 n правая фигурная скобка .$ Пусть $2 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка плюс 1=p в квадрате .$ Тогда

$2 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка = левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка .$

Числа $p \pm 1$   — степени двойки, различающиеся на 2, откуда $p минус 1=2.$ Поэтому $p=3,$ $m=n=3$ и $2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1=7.$ Поскольку числа вида $2 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка плюс 1$ не делятся на 7, число $3 умножить на 5 умножить на 17 умножить на z в квадрате$ делится на 7, но не на 49, что невозможно.

Ответ: $n=1.$

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Различные системы счисления

Спрятать решение · Помощь