Пусть BSC  — общая бо­ко­вая грань пи­ра­мид, A₁SB и A₂SB  — их бо­ко­вые грани, ка­са­ю­щи­е­ся ко­ну­са, ℓ — ось сим­мет­рии ко­ну­са, 2ψ — угол при его вер­ши­не. Так как бо­ко­вые грани пи­ра­мид оди­на­ко­вы, пер­пен­ди­ку­ля­ры, опу­щен­ные из точек A₁, A₂ и C на BS, при­дут в одну точку M. От­сю­да, в част­но­сти, вы­те­ка­ет, что Кроме того, плос­кость A₁MA₂ пер­пен­ди­ку­ляр­на гра­ням A₁SB и A₂SB. Конус ка­са­ет­ся этих гра­ней, по­это­му можно вы­брать точки K на A₁M и N на A₂M так, что SK и SN  — об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са.

Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния ℓ с плос­ко­стью A₁MA₂. До­ка­жем, что от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти A₁MS. Впи­шем в конус шар, со­дер­жа­щий точку K. Он ка­са­ет­ся плос­ко­сти A₁MS, так как лежит по одну сто­ро­ну от нее. Тогда ра­ди­ус шара, про­хо­дя­щий через точку K, пер­пен­ди­ку­ля­рен A₁MS. Зна­чит, он лежит в плос­ко­сти A₁MA₂, а центр шара при­над­ле­жит ℓ. По­это­му O  — центр шара, от­ку­да от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен A₁MS. Ана­ло­гич­но про­ве­ря­ет­ся, что от­ре­зок ON пер­пен­ди­ку­ля­рен A₂MS. Оче­вид­но, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки MKO и MNO равны.

Пусть   — угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­мид. За­ме­тим, что

и Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка A₁MC:

Так как точка C лежит в плос­ко­сти KMN и

мы по­лу­ча­ем

и

По­ло­жим Тогда

Зна­чит, угол ψ воз­рас­та­ет с ро­стом β, а мак­си­маль­ное зна­че­ние β есть α. В слу­чае по­лу­ча­ем

Ответ: