сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Даны две пра­виль­ные тре­уголь­ные пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной S и плос­ким углом при вер­ши­не  альфа = Пи минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .   Они имеют общую бо­ко­вую грань и не имеют дру­гих общих точек. Конус с вер­ши­ной S ка­са­ет­ся внеш­ним об­ра­зом обеих пи­ра­мид. Най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ный угол при вер­ши­не ко­ну­са, при ко­то­ром это воз­мож­но. (Углом при вер­ши­не ко­ну­са на­зы­ва­ет­ся угол между его об­ра­зу­ю­щи­ми в осе­вом се­че­нии).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть BSC  — общая бо­ко­вая грань пи­ра­мид, A1SB и A2SB  — их бо­ко­вые грани, ка­са­ю­щи­е­ся ко­ну­са, ℓ — ось сим­мет­рии ко­ну­са, 2ψ — угол при его вер­ши­не. Так как бо­ко­вые грани пи­ра­мид оди­на­ко­вы, пер­пен­ди­ку­ля­ры, опу­щен­ные из точек A1, A2 и C на BS, при­дут в одну точку M. От­сю­да, в част­но­сти, вы­те­ка­ет, что A_1 M=C M. Кроме того, плос­кость A1MA2 пер­пен­ди­ку­ляр­на гра­ням A1SB и A2SB. Конус ка­са­ет­ся этих гра­ней, по­это­му можно вы­брать точки K на A1M и N на A2M так, что SK и SN  — об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са.

Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния ℓ с плос­ко­стью A1MA2. До­ка­жем, что от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти A1MS. Впи­шем в конус шар, со­дер­жа­щий точку K. Он ка­са­ет­ся плос­ко­сти A1MS, так как лежит по одну сто­ро­ну от нее. Тогда ра­ди­ус шара, про­хо­дя­щий через точку K, пер­пен­ди­ку­ля­рен A1MS. Зна­чит, он лежит в плос­ко­сти A1MA2, а центр шара при­над­ле­жит ℓ. По­это­му O  — центр шара, от­ку­да от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен A1MS. Ана­ло­гич­но про­ве­ря­ет­ся, что от­ре­зок ON пер­пен­ди­ку­ля­рен A2MS. Оче­вид­но, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки MKO и MNO равны.

Пусть a=A_1 B, \varphi  — угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­мид. За­ме­тим, что

 A_1 M=A_1 B умно­жить на синус \angle A_1 B M=a синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =a ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

и C M=a ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка A1MC:

 ко­си­нус \varphi= ко­си­нус \angle A_1 M C= дробь: чис­ли­тель: 2 A_1 M в квад­ра­те минус A_1 C в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 A_1 M в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 a в квад­ра­те ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 a в квад­ра­те ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но \varphi= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Так как точка C лежит в плос­ко­сти KMN и

 \angle A_1 M C=\angle A_2 M C=\varphi,

мы по­лу­ча­ем

 \angle K M O= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle K M N= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2 Пи минус 2 \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи минус \varphi= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби

и

 тан­генс \angle K M O= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

По­ло­жим  бета =\angle M S K. Тогда

 тан­генс \psi= дробь: чис­ли­тель: K O, зна­ме­на­тель: S K конец дроби = дробь: чис­ли­тель: K M умно­жить на тан­генс \angle K M O, зна­ме­на­тель: S K конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус бета .

Зна­чит, угол ψ воз­рас­та­ет с ро­стом β, а мак­си­маль­ное зна­че­ние β есть α. В слу­чае  бета = альфа , по­лу­ча­ем

 тан­генс \psi= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ: 2 арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .