РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2441 Добавить в вариант

Найдите все такие простые числа p, что число $p в квадрате плюс p плюс 1$   является точным кубом.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $p в квадрате плюс p плюс 1= левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в кубе .$ Тогда

$p левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка =n левая круглая скобка n в квадрате плюс 3 n плюс 3 правая круглая скобка .$

Поскольку $p больше n,$ число $n в квадрате плюс 3 n плюс 3$ делится на p. Следовательно, $n в квадрате плюс 3 n плюс 3=k p$ и $p плюс 1=k n,$ причем k нечетно. Тогда

$n в квадрате плюс 3 n плюс 3=k левая круглая скобка k n минус 1 правая круглая скобка =k в квадрате n минус k .$

Рассмотрим это равенство как квадратный трехчлен относительно n. Он имеет целый корень, поэтому его дискриминант

$левая круглая скобка k в квадрате минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка k плюс 3 правая круглая скобка$

является квадратом четного числа. Тогда он не больше, чем $левая круглая скобка k в квадрате минус 5 правая круглая скобка в квадрате .$ Стало быть,

$k в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 10 k в квадрате плюс 25= левая круглая скобка k в квадрате минус 5 правая круглая скобка в квадрате больше или равно левая круглая скобка k в квадрате минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка k плюс 3 правая круглая скобка =k в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 6 k в квадрате минус 4 k минус 3 .$

Таким образом, $k в квадрате меньше или равно k плюс 7.$ Такое возможно только при $k=1$ или $k=2,$ но в этих случаях дискриминант не является точным квадратом.

Ответ: таких чисел не существует.

Олимпиада СПБГУ, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Простые числа

Спрятать решение · Помощь