РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2446 Добавить в вариант

Окружность с центром O описана вокруг четырехугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями. Точки P и Q  — середины дуг ABC и ADC этой окружности. Прямая BO пересекает отрезок CQ в точке R. На стороне AB выбрана такая точка S, что прямые AQ и RS параллельны. Докажите, что прямые CS и PD перпендикулярны.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим через X точку пересечения прямых AQ и BR. Поскольку точки A, D, C и P лежат на одной окружности, $\angle C A D=\angle C P D.$ Поэтому достаточно доказать равенство $\angle A D B=\angle P C S$ или, что тоже самое, $\angle A Q B=\angle P C S.$ По условию четырехугольник ABCQ вписанный и прямые AQ и RS параллельны. Следовательно, четырехугольник SBCR также вписанный. Тогда

$\angle B C S=\angle B R S=\angle B X A$

(последнее  — из-за параллельности прямых AX и RS). Кроме того,

$\angle B C P=\angle B Q P=\angle B Q O=\angle Q B O=\angle Q B X.$

Следовательно,

$\angle A Q B=\angle Q X B плюс \angle Q B X=\angle B C S плюс \angle B C P=\angle P C S.$

Олимпиада СПБГУ, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности описанные, Методы геометрии. Четыре точки на окружности

Спрятать решение · Помощь