Назовем «уголком» квадрат 2 × 2, из которого вырезана одна клетка. В каждой клетке таблицы 100 × 100 стоит натуральное число. За одну операцию разрешается взять три клетки, расположенные в виде «уголка» и прибавить к каждому из чисел в этих клетках по единице. Всегда ли с помощью таких операций можно сделать все числа в таблице равными?
Разобьем таблицу на 2500 квадратиков 2 × 2. Несложно видеть, что в каждом квадратике можно сделать числа равными (в квадратике 2 × 2. прибавление единиц к числам из уголка соответствует вычитанию единицы из одного числа с последующим увеличением всех чисел квадрата на один, а такими вычитаниями легко сделать числа равными). Кроме того, четырьмя операциями все числа в квадратике можно увеличить на три. Поэтому достаточно добиться того, чтобы числа из разных квадратиков давали одинаковый остаток от деления на три.
Дальше будем смотреть только на остатки. Возьмем два соседних квадратика. С помощью четырех операций можно увеличить все числа в одном квадратике на единицу, a все числа в другом квадратике — на двойку. Поэтому можно остаток чисел в одном квадратике увеличить на 1, а в другом — уменьшить на 1. Пусть остаток суммы чисел во всей таблице равен r. Покажем, как добиться того, чтобы все числа в таблице имели остаток r. Последовательно слева направо пройдем по парам квадратиков сначала в верхней строке и получим во всех квадратиках, кроме самого правого, остаток r. Проделаем те же действия с остальными строками. Наконец, двигаясь сверху вниз, последовательно обработаем правый столбец. В результате всех квадратиках, кроме правого нижнего, будут числа, дающие остаток r, а в правом нижнем — числа, дающие остаток x. Тогда сумма чисел во всей таблице дает остаток
поэтому 
Ответ: всегда.