РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2455 Добавить в вариант

При каком значении параметра a корни трехчлена $x в квадрате плюс левая круглая скобка 2a минус 1 правая круглая скобка x плюс a в квадрате плюс 2$   отличаются в два раза?

Спрятать решение

Решение.

Пусть u и 2u  — трехчлена

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 a минус 1 правая круглая скобка x плюс a в квадрате плюс 2.$

Тогда по теореме Виета $u плюс 2 u= минус левая круглая скобка 2 a минус 1 правая круглая скобка ,$ поэтому $u= минус дробь: числитель: 2 a минус 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ Следовательно,

$a в квадрате плюс 2=2 u в квадрате = дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 2 a минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби ,$

откуда получаем, что $левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка в квадрате =0$ и, значит, $a= минус 4.$ Получился трехчлен $x в квадрате минус 9 x плюс 18$ с корнями 3 и 6, так что он нам подходит.

Ответ: при $a= минус 4.$

Олимпиада СПБГУ, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Параметр и квадратных трехчлен

Спрятать решение · Помощь