сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В од­но­кру­го­вом тур­ни­ре по на­столь­но­му тен­ни­су при­ня­ло уча­стие 35 че­ло­век. По ито­гам тур­ни­ра ока­за­лось, что нет такой чет­вер­ки иг­ро­ков A, B, C, D, что A вы­иг­рал у B, B  — у C, C  — у D, D  — у A. Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство троек участ­ни­ков, одер­жав­ших во встре­чах между собой ровно по одной по­бе­де? Ни­чьих в тен­ни­се не бы­ва­ет.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

На­зо­вем цик­лом такую трой­ку участ­ни­ков, что во встре­чах между собой каж­дый из них одер­жал по одной по­бе­де. До­ка­жем вна­ча­ле, что ни один тен­ни­сист не может вхо­дить более чем в один цикл. До­го­во­рим­ся сим­во­лом A arrow B от­ме­чать факт по­бе­ды A над B. Пусть на­шел­ся участ­ник C, фи­гу­ри­ру­ю­щий в двух раз­ных цик­лах. Эти циклы могут быть двух типов:

1)  (A, B, C) и (C, D, E). Тогда A arrow D, так как иначе

A arrow B arrow C arrow D arrow A,

что не­воз­мож­но. Но в этом слу­чае A arrow D arrow E arrow C arrow A, чего так же быть не может;

2)  (A, B, C) и (B, C, D). Тогда вновь A arrow D. Но в этом слу­чае

A arrow D arrow B arrow C arrow A,

что также не­воз­мож­но. Таким об­ра­зом, в два цикла тен­ни­сист C вхо­дить не может.

По до­ка­зан­но­му циклы не пе­ре­се­ка­ют­ся, по­это­му их ко­ли­че­ство не пре­вос­хо­дит  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка =11. При­ве­дем при­мер тур­ни­ра с 11 цик­ла­ми. Разо­бьем 33 участ­ни­ка на груп­пы по 3 че­ло­ве­ка и за­ну­ме­ру­ем эти груп­пы чис­ла­ми от 1 до 11. Пусть каж­дая груп­па об­ра­зу­ет цикл, а во встре­че тен­ни­си­стов, вхо­дя­щих в раз­ные груп­пы, по­беж­да­ет спортс­мен из груп­пы с боль­шим но­ме­ром. На­ко­нец, остав­ши­е­ся два участ­ни­ка по­беж­да­ют всех осталь­ных. Такой тур­нир удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи и имеет ровно 11 цик­лов.

 

Ответ: 11.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Общая схема:

0 бал­лов  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник к ре­ше­нию за­да­чи не при­сту­пал или на­ча­тый ход ре­ше­ния пол­но­стью не­ве­рен;

1 балл  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник при­сту­пил к ре­ше­нию за­да­чи, ука­зал вер­ное на­прав­ле­ние ре­ше­ния за­да­чи и по­лу­чил пра­виль­ные про­ме­жу­точ­ные ре­зуль­та­ты, но при этом не про­дви­нул­ся на­столь­ко, чтобы можно было су­дить о том, каким об­ра­зом он со­би­рал­ся по­лу­чить окон­ча­тель­ный ответ (то есть весь ход ре­ше­ния не пред­став­лен);

2 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если вы­бран­ный участ­ни­ком ход ре­ше­ния за­да­чи яв­ля­ет­ся в прин­ци­пе пра­виль­ным, но при этом участ­ник не смог его ре­а­ли­зо­вать в силу серьёзных оши­бок;

3 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если ре­ше­ние яв­ля­ет­ся в целом пра­виль­ным, но со­дер­жит ошиб­ки, по­вли­яв­шие на ответ;

4 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник решил за­да­чу в целом пра­виль­но и по­лу­чил вер­ный ответ; при этом в ре­ше­нии до­пус­ка­ют­ся не­зна­чи­тель­ные не­точ­но­сти.

 

Фак­то­ры, вли­я­ю­щие на оцен­ку.

1.  Одна из ос­нов­ных целей Олим­пи­а­ды  — вы­яв­ле­ние у обу­ча­ю­щих­ся твор­че­ских спо­соб­но­стей. По­это­му в слу­чае пред­став­ле­ния участ­ни­ком ин­те­рес­но­го ори­ги­наль­но­го под­хо­да к ре­ше­нию за­да­чи, оцен­ка за ре­ше­ние может быть уве­ли­че­на на 1 балл.

2.  Пра­виль­ный ответ к за­да­че, при­ве­ден­ный без до­ста­точ­ных обос­но­ва­ний, либо при на­ли­чии оши­бок в ре­ше­нии, либо при от­сут­ствии ре­ше­ния, не ведёт к уве­ли­че­нию оцен­ки, ко­то­рая вы­став­ля­ет­ся участ­ни­ку за дан­ную за­да­чу.

3.  Если участ­ник не довел за­да­чу до от­ве­та, то ито­го­вая оцен­ка за дан­ную за­да­чу не может пре­вы­шать 1 балл.

4.  Если за­да­ча ре­ше­на пе­ре­бо­ром воз­мож­ных ва­ри­ан­тов, и при этом пе­ре­бор не­пол­ный, то за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся до 1 балла. Если участ­ник по­до­брал част­ное ре­ше­ние без обос­но­ва­ния и про­ве­рил его пра­виль­ность, то в этом слу­чае за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся до 0,5 бал­лов.

5.  Если за­да­ча ре­ше­на при до­пол­ни­тель­ном пред­по­ло­же­нии, ко­то­рое от­сут­ству­ет в усло­вии, то за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся

а)  до 1 балла, если это пред­по­ло­же­ние можно до­ка­зать;

б)  до 0,5 бал­лов, если оно не обя­за­но вы­пол­нять­ся, но не про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи;

в)  0 бал­лов, если оно про­ти­во­ре­чит усло­вию.

6.  Если в ра­бо­те при­ве­де­ны два ре­ше­ния или от­ве­та к одной за­да­че, про­ти­во­ре­ча­щие друг другу, то за за­да­чу ста­вит­ся 0 бал­лов.