В однокруговом турнире по настольному теннису приняло участие 35 человек. По итогам турнира оказалось, что нет такой четверки игроков A, B, C, D, что A выиграл у B, B — у C, C — у D, D — у A. Каково наибольшее количество троек участников, одержавших во встречах между собой ровно по одной победе? Ничьих в теннисе не бывает.
Назовем циклом такую тройку участников, что во встречах между собой каждый из них одержал по одной победе. Докажем вначале, что ни один теннисист не может входить более чем в один цикл. Договоримся символом отмечать факт победы A над B. Пусть нашелся участник C, фигурирующий в двух разных циклах. Эти циклы могут быть двух типов:
1) (A, B, C) и (C, D, E). Тогда так как иначе
что невозможно. Но в этом случае чего так же быть не может;
2) (A, B, C) и (B, C, D). Тогда вновь Но в этом случае
что также невозможно. Таким образом, в два цикла теннисист C входить не может.
По доказанному циклы не пересекаются, поэтому их количество не превосходит Приведем пример турнира с 11 циклами. Разобьем 33 участника на группы по 3 человека и занумеруем эти группы числами от 1 до 11. Пусть каждая группа образует цикл, а во встрече теннисистов, входящих в разные группы, побеждает спортсмен из группы с большим номером. Наконец, оставшиеся два участника побеждают всех остальных. Такой турнир удовлетворяет условию задачи и имеет ровно 11 циклов.
Ответ: 11.