Натуральное число x в восьмеричной системе 2019-значное, его младшая цифр равна 3, все остальные цифры отличны
Решим задачу для
Младшая цифра равна При она не может быть 1, а с 6 совпадает только при Так как следующая цифра равна
Это дает 1 при и 6 при Второй случай не подходит, поскольку в произведении (26 .. 263) (362 .. 62) в четвертом разряде окажется 4. Таким образом, и
Мы пока не Знаем, удовлетворяют ли найденные x и y условию задачи. Чтобы убедиться в этом и получить ответ, необходимо вычислить Заметим, что
откуда
Перемножим эти равен ства и поделим результат на 9. Мы получим
Числитель и Знаменатель дроби в правой части равны соответственно (777 ... 7) и (11), поэтому частное равно (70 707 ... 07) (в нем фигурирует n семерок). Тогда
Ответ: при
Приведем другое решение. Решим задачу для
Младшая цифр а равна При она не может быть 1, а с 6 совпадает только при Так как следующая цифра равна
Это дает 1 при и 6 при Второй случай не подходит поскольку в произведении
в четвертом разряде окажется 4. Докажем по индукции, что
База индукции очевидна: Предположим, что для некоторого n утверждение доказано. Заметим, что
Воспользуемся формулой
которую проверим ниже. Мы получим
что и требовалось доказать.
Осталось проверить равенство (*). Положим Тогда
Заметим, что
Поэтому