сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

На­ту­раль­ное число x в вось­ме­рич­ной си­сте­ме 2019-знач­ное, его млад­шая цифр равна 3, все осталь­ные цифры от­лич­ны от 3 и сов­па­да­ют через одну. Число y по­лу­ча­ет­ся за­пи­сью цифр x в об­рат­ном по­ряд­ке. Ока­за­лось, что вось­ме­рич­ное пред­став­ле­ние x умно­жить на y  со­дер­жит толь­ко цифры 1 и 6. Най­ди­те x умно­жить на y  (в вось­ме­рич­ной си­сте­ме).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу для  левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка -знач­но­го x. До­го­во­рим­ся вось­ме­рич­ные числа пи­сать в скоб­ках, чтобы от­ли­чать их от де­ся­тич­ных. По­ло­жим

 x= левая круг­лая скоб­ка \underbracea b \ldots a b_2 n \text цифр 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , \quad y= левая круг­лая скоб­ка 3 \underbraceb a \ldots b a_2 n \text цифр пра­вая круг­лая скоб­ка .

Млад­шая цифра x умно­жить на y равна 3 a \bmod 8. При a не равно q 3 она не может быть 1, а с 6 сов­па­да­ет толь­ко при a=2. Так как 3 a мень­ше 8, сле­ду­ю­щая цифра x умно­жить на y равна

b левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \bmod 8=5 b \bmod 8.

Это дает 1 при b=5 и 6 при b=6. Вто­рой слу­чай не под­хо­дит, по­сколь­ку в про­из­ве­де­нии (26 .. 263) (362 .. 62) в чет­вер­том раз­ря­де ока­жет­ся 4. Таким об­ра­зом, x= левая круг­лая скоб­ка 25 \ldots 253 пра­вая круг­лая скоб­ка и y= левая круг­лая скоб­ка 352 \ldots 52 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Мы пока не Знаем, удо­вле­тво­ря­ют ли най­ден­ные x и y усло­вию за­да­чи. Чтобы убе­дить­ся в этом и по­лу­чить ответ, не­об­хо­ди­мо вы­чис­лить x умно­жить на y. За­ме­тим, что

 y минус x= левая круг­лая скоб­ка 7 \ldots 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, \quad 2 x плюс y= левая круг­лая скоб­ка 52 \ldots 526 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка 352 \ldots 52 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка =9 умно­жить на 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да

 3 x=2 x плюс y минус левая круг­лая скоб­ка y минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, \quad 3 y=2 левая круг­лая скоб­ка y минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 x плюс y=11 умно­жить на 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 .

Пе­ре­мно­жим эти равен ства и по­де­лим ре­зуль­тат на 9. Мы по­лу­чим

 x y= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 11 умно­жить на 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Чис­ли­тель и Зна­ме­на­тель дроби в пра­вой части равны со­от­вет­ствен­но (777 ... 7) и (11), по­это­му част­ное равно (70 707 ... 07) (в нем фи­гу­ри­ру­ет n се­ме­рок). Тогда

 x y= левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 \underbrace16 \ldots 16_2 n \text цифр пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 1 \underbrace16 \ldots 16_2 n \text цифр 1 \underbrace16 \ldots 16_2 n \text цифр пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: x умно­жить на y=1 \underbrace1616 \ldots 16_2018 1 \underbrace1616 \ldots 16_2018 при x=\underbrace25 \ldots 25_2018 3.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние. Решим за­да­чу для  левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка -знач­но­го x. До­го­во­рим­ся пи­сать числа в вось­ме­рич­ной си­сте­ме. По­ло­жим

 x_n=\underbracea b \ldots a b_2 n \text цифр 3, \quad y_n=3 \underbraceb a \ldots b a_2 n \text цифр .

Млад­шая цифр а x_n умно­жить на y_n равна 3 a \bmod 8. При a не равно q 3 она не может быть 1, а с 6 сов­па­да­ет толь­ко при a=2. Так как 3 a мень­ше 8, сле­ду­ю­щая цифра x_n умно­жить на y_n равна

 левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка b \bmod 8=5 b \bmod 8.

Это дает 1 при b=5 и 6 при b=6. Вто­рой слу­чай не под­хо­дит по­сколь­ку в про­из­ве­де­нии

26 \ldots 263 умно­жить на 362 \ldots 62

в чет­вер­том раз­ря­де ока­жет­ся 4. До­ка­жем по ин­дук­ции, что

 \underbrace25 \ldots 25_2 n \text цифр 3 умно­жить на 3 \underbrace52 \ldots 52_2 n \text цифр =11 \underbrace61 \ldots 61_2 n \text цифр \underbrace16 \ldots 16_2 n \text цифр .

База ин­дук­ции оче­вид­на: 253 умно­жить на 352=116 116. Пред­по­ло­жим, что для не­ко­то­ро­го n утвер­жде­ние до­ка­за­но. За­ме­тим, что

 x_n плюс 1=\underbrace25 \ldots 25_2 n \text цифр 300 минус 25=8 в квад­ра­те x_n минус 25,

y_n плюс 1=3 \underbrace52 \ldots 52_2 n \text цифр 00 плюс 52=8 в квад­ра­те y_n плюс 52=8 в квад­ра­те y_n плюс 2 умно­жить на 25.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой

 25 левая круг­лая скоб­ка 2 x_n минус y_n пра­вая круг­лая скоб­ка =43 \underbrace0 \ldots 0_2 n минус 2 34, \qquad левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

ко­то­рую про­ве­рим ниже. Мы по­лу­чим

 x_n плюс 1 умно­жить на y_n плюс 1=8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на x_n умно­жить на y_n плюс 25 умно­жить на 8 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2 x_n минус y_n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 25 умно­жить на 52=
=11 \underbrace61 \ldots 61_2 n \underbrace16 \ldots 16_2 n 0000 плюс 43 \underbrace0 \ldots 0_2 n минус 2 3400 минус 1562=
= 11 \underbrace61 \ldots 61_2 n плюс 2 \underbrace16 \ldots 16_2 n минус 2 0000 плюс 3400 минус 1562=11 \underbrace61 \ldots_2 n плюс 2 \underbrace16 \ldots 16_2 n плюс 2,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Оста­лось про­ве­рить ра­вен­ство (*). По­ло­жим z=\underbrace52 \ldots 52_2 n \text цифр . Тогда

 2 x_n=\underbrace52 \ldots 52_2 n \text цифр 6=8 z плюс 6, \quad y_n=z плюс 3 умно­жить на 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка .

За­ме­тим, что

 25 z=15 \underbrace7 \ldots 7_2 n минус 2 62=16 умно­жить на 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 16=16 левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­это­му

25 левая круг­лая скоб­ка 2 x_n минус y_n пра­вая круг­лая скоб­ка =25 левая круг­лая скоб­ка 7 z плюс 6 минус 3 умно­жить на 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =7 умно­жить на 16 левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 25 умно­жить на 6 минус 3 умно­жить на 25 умно­жить на 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка =
=8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7 умно­жить на 16 минус 3 умно­жить на 25 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 6 умно­жить на 25 минус 7 умно­жить на 16=43 умно­жить на 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 34=43 \underbrace0 \ldots 0_2 n минус 2 34.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Общая схема:

0 бал­лов  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник к ре­ше­нию за­да­чи не при­сту­пал или на­ча­тый ход ре­ше­ния пол­но­стью не­ве­рен;

1 балл  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник при­сту­пил к ре­ше­нию за­да­чи, ука­зал вер­ное на­прав­ле­ние ре­ше­ния за­да­чи и по­лу­чил пра­виль­ные про­ме­жу­точ­ные ре­зуль­та­ты, но при этом не про­дви­нул­ся на­столь­ко, чтобы можно было су­дить о том, каким об­ра­зом он со­би­рал­ся по­лу­чить окон­ча­тель­ный ответ (то есть весь ход ре­ше­ния не пред­став­лен);

2 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если вы­бран­ный участ­ни­ком ход ре­ше­ния за­да­чи яв­ля­ет­ся в прин­ци­пе пра­виль­ным, но при этом участ­ник не смог его ре­а­ли­зо­вать в силу серьёзных оши­бок;

3 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если ре­ше­ние яв­ля­ет­ся в целом пра­виль­ным, но со­дер­жит ошиб­ки, по­вли­яв­шие на ответ;

4 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник решил за­да­чу в целом пра­виль­но и по­лу­чил вер­ный ответ; при этом в ре­ше­нии до­пус­ка­ют­ся не­зна­чи­тель­ные не­точ­но­сти.

 

Фак­то­ры, вли­я­ю­щие на оцен­ку.

1.  Одна из ос­нов­ных целей Олим­пи­а­ды  — вы­яв­ле­ние у обу­ча­ю­щих­ся твор­че­ских спо­соб­но­стей. По­это­му в слу­чае пред­став­ле­ния участ­ни­ком ин­те­рес­но­го ори­ги­наль­но­го под­хо­да к ре­ше­нию за­да­чи, оцен­ка за ре­ше­ние может быть уве­ли­че­на на 1 балл.

2.  Пра­виль­ный ответ к за­да­че, при­ве­ден­ный без до­ста­точ­ных обос­но­ва­ний, либо при на­ли­чии оши­бок в ре­ше­нии, либо при от­сут­ствии ре­ше­ния, не ведёт к уве­ли­че­нию оцен­ки, ко­то­рая вы­став­ля­ет­ся участ­ни­ку за дан­ную за­да­чу.

3.  Если участ­ник не довел за­да­чу до от­ве­та, то ито­го­вая оцен­ка за дан­ную за­да­чу не может пре­вы­шать 1 балл.

4.  Если за­да­ча ре­ше­на пе­ре­бо­ром воз­мож­ных ва­ри­ан­тов, и при этом пе­ре­бор не­пол­ный, то за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся до 1 балла. Если участ­ник по­до­брал част­ное ре­ше­ние без обос­но­ва­ния и про­ве­рил его пра­виль­ность, то в этом слу­чае за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся до 0,5 бал­лов.

5.  Если за­да­ча ре­ше­на при до­пол­ни­тель­ном пред­по­ло­же­нии, ко­то­рое от­сут­ству­ет в усло­вии, то за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся

а)  до 1 балла, если это пред­по­ло­же­ние можно до­ка­зать;

б)  до 0,5 бал­лов, если оно не обя­за­но вы­пол­нять­ся, но не про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи;

в)  0 бал­лов, если оно про­ти­во­ре­чит усло­вию.

6.  Если в ра­бо­те при­ве­де­ны два ре­ше­ния или от­ве­та к одной за­да­че, про­ти­во­ре­ча­щие друг другу, то за за­да­чу ста­вит­ся 0 бал­лов.