сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

На столе лежат два ко­ну­са с общей вер­ши­ной O, ка­са­ясь друг друга внеш­ним об­ра­зом. Угол между их осями сим­мет­рии равен  арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Най­ди­те мак­си­маль­ный угол при вер­ши­не мень­ше­го из двух ко­ну­сов с вер­ши­ной O, ко­то­рые лежат на столе и ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом пер­вых двух ко­ну­сов. (Углом при вер­ши­не ко­ну­са на­зы­ва­ет­ся угол между его об­ра­зу­ю­щи­ми в осе­вом се­че­нии.)

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть 2α, 2β, 2γ — углы при вер­ши­не ко­ну­сов. От­ло­жим еди­нич­ные от­рез­ки ОA, OB, OC на ле­жа­щих в плос­ко­сти стола об­ра­зу­ю­щих ко­ну­сов. Пусть O1 и O2  — точки на осях сим­мет­рии пер­вых двух ко­ну­сов: про­ек­ци­я­ми ко­то­рых на стол яв­ля­ют­ся точки A и B, ОD  — еди­нич­ный от­ре­зок на общей об­ра­зу­ю­щей этих ко­ну­сов. Тре­уголь­ни­ки O1A и OO1D равны по двум сто­ро­нам и углу, от­ку­да от­ре­зок DO1 пер­пен­ди­ку­ля­рен DO и D O_1=A O_1= тан­генс альфа . Ана­ло­гич­ным об­ра­зом D O_2=B O_2= тан­генс бета . По­это­му

 A B в квад­ра­те =O_1 O_2 в квад­ра­те минус \left|A O_1 минус B O_2| в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка тан­генс альфа плюс тан­генс бета пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка тан­генс альфа минус тан­генс бета пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =4 тан­генс альфа тан­генс бета .

При­ме­няя те же рас­суж­де­ния к двум дру­гим парам ко­ну­сов, мы по­лу­чим  A C в квад­ра­те =4 тан­генс альфа тан­генс гамма , и  B C в квад­ра­те =4 тан­генс бета тан­генс гамма . Пусть \varphi=\angle A O B. По­сколь­ку нам нужен мень­ший из двух воз­мож­ных тре­тьих ко­ну­сов, луч ОC лежит внут­ри угла AOB. Тогда (см. верх­ний ри­су­нок)

 2 \angle A C B=2 \angle A C O плюс 2 \angle O C B= Пи минус \angle A O C плюс Пи минус \angle B O C=2 Пи минус \angle A O B=2 Пи минус \varphi \Rightarrow \angle A C B= Пи минус дробь: чис­ли­тель: \varphi, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

За­ме­тим, что

 синус дробь: чис­ли­тель: \varphi, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: A B, зна­ме­на­тель: 2 A O конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: тан­генс альфа тан­генс бета конец ар­гу­мен­та

и

 ко­си­нус \angle A C B= минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: \varphi, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус тан­генс альфа тан­генс бета конец ар­гу­мен­та .

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус тан­генс альфа тан­генс бета конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: A C в квад­ра­те плюс B C в квад­ра­те минус A B в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 A C умно­жить на B C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: тан­генс альфа тан­генс гамма плюс тан­генс бета тан­генс гамма минус тан­генс альфа тан­генс бета , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: тан­генс альфа тан­генс бета конец ар­гу­мен­та умно­жить на тан­генс гамма конец дроби .

До­мно­жая это ра­вен­ство на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \ctg альфа \ctg бета конец ар­гу­мен­та , мы по­лу­чим

 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \ctg альфа \ctg бета минус 1 конец ар­гу­мен­та =\ctg альфа плюс \ctg бета минус \ctg гамма рав­но­силь­но \ctg гамма =\ctg альфа плюс \ctg бета плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \ctg альфа \ctg бета минус 1 конец ар­гу­мен­та .

По­ло­жим x=\ctg альфа плюс \ctg бета . По усло­вию  альфа плюс бета = арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , от­ку­да

 \ctg альфа \ctg бета минус 1=\ctg левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \ctg альфа плюс \ctg бета пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x

и \ctg гамма =x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 x конец ар­гу­мен­та . Числа \ctg альфа и \ctg бета яв­ля­ют­ся кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния

t в квад­ра­те минус x t плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x плюс 1=0

(от­но­си­тель­но пе­ре­мен­ной t). Оно долж­но иметь ре­ше­ния, по­это­му

 x в квад­ра­те минус 3 x минус 4 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x боль­ше или равно 4 рав­но­силь­но \ctg гамма боль­ше или равно 4 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но гамма мень­ше или равно \arcctg левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ра­вен­ство ре­а­ли­зу­ет­ся при \ctg альфа =\ctg бета =2.

 

Ответ: 2\arcctg левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 2 ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Общая схема:

0 бал­лов  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник к ре­ше­нию за­да­чи не при­сту­пал или на­ча­тый ход ре­ше­ния пол­но­стью не­ве­рен;

1 балл  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник при­сту­пил к ре­ше­нию за­да­чи, ука­зал вер­ное на­прав­ле­ние ре­ше­ния за­да­чи и по­лу­чил пра­виль­ные про­ме­жу­точ­ные ре­зуль­та­ты, но при этом не про­дви­нул­ся на­столь­ко, чтобы можно было су­дить о том, каким об­ра­зом он со­би­рал­ся по­лу­чить окон­ча­тель­ный ответ (то есть весь ход ре­ше­ния не пред­став­лен);

2 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если вы­бран­ный участ­ни­ком ход ре­ше­ния за­да­чи яв­ля­ет­ся в прин­ци­пе пра­виль­ным, но при этом участ­ник не смог его ре­а­ли­зо­вать в силу серьёзных оши­бок;

3 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если ре­ше­ние яв­ля­ет­ся в целом пра­виль­ным, но со­дер­жит ошиб­ки, по­вли­яв­шие на ответ;

4 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник решил за­да­чу в целом пра­виль­но и по­лу­чил вер­ный ответ; при этом в ре­ше­нии до­пус­ка­ют­ся не­зна­чи­тель­ные не­точ­но­сти.

 

Фак­то­ры, вли­я­ю­щие на оцен­ку.

1.  Одна из ос­нов­ных целей Олим­пи­а­ды  — вы­яв­ле­ние у обу­ча­ю­щих­ся твор­че­ских спо­соб­но­стей. По­это­му в слу­чае пред­став­ле­ния участ­ни­ком ин­те­рес­но­го ори­ги­наль­но­го под­хо­да к ре­ше­нию за­да­чи, оцен­ка за ре­ше­ние может быть уве­ли­че­на на 1 балл.

2.  Пра­виль­ный ответ к за­да­че, при­ве­ден­ный без до­ста­точ­ных обос­но­ва­ний, либо при на­ли­чии оши­бок в ре­ше­нии, либо при от­сут­ствии ре­ше­ния, не ведёт к уве­ли­че­нию оцен­ки, ко­то­рая вы­став­ля­ет­ся участ­ни­ку за дан­ную за­да­чу.

3.  Если участ­ник не довел за­да­чу до от­ве­та, то ито­го­вая оцен­ка за дан­ную за­да­чу не может пре­вы­шать 1 балл.

4.  Если за­да­ча ре­ше­на пе­ре­бо­ром воз­мож­ных ва­ри­ан­тов, и при этом пе­ре­бор не­пол­ный, то за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся до 1 балла. Если участ­ник по­до­брал част­ное ре­ше­ние без обос­но­ва­ния и про­ве­рил его пра­виль­ность, то в этом слу­чае за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся до 0,5 бал­лов.

5.  Если за­да­ча ре­ше­на при до­пол­ни­тель­ном пред­по­ло­же­нии, ко­то­рое от­сут­ству­ет в усло­вии, то за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся

а)  до 1 балла, если это пред­по­ло­же­ние можно до­ка­зать;

б)  до 0,5 бал­лов, если оно не обя­за­но вы­пол­нять­ся, но не про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи;

в)  0 бал­лов, если оно про­ти­во­ре­чит усло­вию.

6.  Если в ра­бо­те при­ве­де­ны два ре­ше­ния или от­ве­та к одной за­да­че, про­ти­во­ре­ча­щие друг другу, то за за­да­чу ста­вит­ся 0 бал­лов.