РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2509 Добавить в вариант

Решить уравнение

$2 логарифм по основанию 4 синус 2x минус 2 логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 1 минус косинус 2x конец аргумента =1.$

В ответе записать $x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Варианты ответов:

а	б	в	г	д
$арктангенс левая круглая скобка \dfrac 12 правая круглая скобка$	$арктангенс левая круглая скобка \dfrac 13 правая круглая скобка$	$арктангенс левая круглая скобка минус \dfrac 12 правая круглая скобка$	0	$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

Спрятать решение

Решение.

Выпишем область допустимых значений:

$система выражений синус 2 x больше 0, 1 минус косинус 2 x больше 0. конец системы .$

Преобразуем исходное уравнение:

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус 2 x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 1 минус косинус 2 x конец аргумента =1 равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка правая круглая скобка синус 2 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка =1 ; равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка синус 2 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка синус 2 x= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 умножить на левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно синус 2 x минус 2 плюс 2 косинус 2 x=0 равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате x плюс 2 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате 2 x=0 равносильно$
$равносильно синус x косинус x минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно синус x левая круглая скобка косинус x минус 2 синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, система выражений косинус x минус 2 синус x=0, косинус x не равно q 0. конец системы . конец совокупности .$ $2 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус 2 x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 1 минус косинус 2 x конец аргумента =1 равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка правая круглая скобка синус 2 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка =1 ; равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка синус 2 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка синус 2 x= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 умножить на левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка равносильно синус 2 x минус 2 плюс 2 косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате x плюс 2 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате 2 x=0 равносильно синус x косинус x минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка косинус x минус 2 синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, система выражений косинус x минус 2 синус x=0, косинус x не равно q 0. конец системы . конец совокупности .$ $2 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус 2 x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 1 минус косинус 2 x конец аргумента =1 равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка правая круглая скобка синус 2 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка =1 ; равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка синус 2 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка синус 2 x= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 умножить на левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка равносильно синус 2 x минус 2 плюс 2 косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате x плюс 2 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате 2 x=0 равносильно$
$равносильно синус x косинус x минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно синус x левая круглая скобка косинус x минус 2 синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, система выражений косинус x минус 2 синус x=0, косинус x не равно q 0. конец системы . конец совокупности .$ $2 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус 2 x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 1 минус косинус 2 x конец аргумента =1 равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка правая круглая скобка синус 2 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка =1 ; равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка синус 2 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка синус 2 x= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 умножить на левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка равносильно синус 2 x минус 2 плюс 2 косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате x плюс 2 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате 2 x=0 равносильно$
$равносильно синус x косинус x минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка косинус x минус 2 синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, система выражений косинус x минус 2 синус x=0, косинус x не равно q 0. конец системы . конец совокупности .$ $2 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус 2 x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 1 минус косинус 2 x конец аргумента =1 равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка правая круглая скобка синус 2 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка =1 ; равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка синус 2 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка синус 2 x= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 умножить на левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка равносильно синус 2 x минус 2 плюс 2 косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате x плюс 2 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате 2 x=0 равносильно$
$равносильно синус x косинус x минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка косинус x минус 2 синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, система выражений косинус x минус 2 синус x=0, косинус x не равно q 0. конец системы . конец совокупности .$ $2 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус 2 x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 1 минус косинус 2 x конец аргумента =1 равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка правая круглая скобка синус 2 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка =1 ; равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка синус 2 x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка синус 2 x= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 умножить на левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно синус 2 x минус 2 плюс 2 косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате x плюс 2 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате 2 x=0 равносильно$
$равносильно синус x косинус x минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка косинус x минус 2 синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, система выражений косинус x минус 2 синус x=0, косинус x не равно q 0. конец системы . конец совокупности .$

Первое уравнение имеет корень $x= Пи n,$ $n принадлежит Z$   — не удовлетворяет ОДЗ. Корнем второго является $тангенс x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ то есть $x= арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,$ $k принадлежит Z .$

Выберем из множества решений $x= арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,$ $k принадлежит Z$ такие, что $x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ Получаем единственный корень $x= арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Олимпиада Газпром, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + логарифмы, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь