РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2521 Добавить в вариант

Найти абсолютное значение среднего арифметического наибольшего и наименьшего значений функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x в кубе минус 3x в квадрате минус 6x минус 8$ на отрезке [−1; 2].

Варианты ответов:

а	б	в	г	д
−6,25	−0,5	1	2	6,25

Спрятать решение

Решение.

Найдем производную заданной функции

$f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =12 x в квадрате минус 6 x минус 6.$

Найдем критические точки функции $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =0,$ тогда $12 x в квадрате минус 6 x минус 6=0.$ Решаем квадратное уравнение, получаем корни: $x_1=1$ и $x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Обе точки принадлежат промежутку [−1; 2]. Находим значения функции в этих точках и на концах промежутка:

$f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 9,$ $f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус 6,25,$ $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 13,$ $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =0.$

Таким образом,

$\underset \min левая квадратная скобка минус 1; 2 правая квадратная скобка \mathopf=f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 13$

$\underset \max левая квадратная скобка минус 1; 2 правая квадратная скобка \mathopf=f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =0.$

Среднее арифметическое этих значений равно −6,25. Абсолютная величина его равна 6,25.

Ответ: 6,25.

Олимпиада Газпром, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Анализ. Производная и наибольшее / наименьшее значения

Спрятать решение · Помощь