Можно ли в некоторых клетках шахматной доски 8 на 8 поставить по одной фишке так, чтобы число фишек в любых двух соседних горизонталях отличалось в 3 раза, а в любых двух соседних вертикалях — в 4 раза? Хотя бы одна фишка на доске должна быть.
Горизонталь или вертикаль доски 8 на 8 не может содержать больше 8 фишек, поэтому минимальное число фишек в горизонтали равно 1 или 2, в противном случае в одной из соседних с минимальной горизонталей будет не меньше 9 фишек. Из условия легко следует, что в первом случае горизонтали содержат 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3 или 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1 фишек, а во втором — 2, 6, 2, 6, 2, 6, 2, 6 или 6, 2, 6, 2, 6, 2, 6, 2 фишек, то есть всего 16 или 32 фишки. Разобьём вертикали на пары соседних, по условию, число фишек в каждой паре соседних вертикалей делится на 5. поэтому и общее число фишек на доске должно делиться на 5, однако 16 и 32 не делятся на 5 — противоречие.
Ответ: Нет.