РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 255 Добавить в вариант

При каком минимальном n в любом множестве из n различных натуральных чисел, не превосходящих 100, найдутся два, сумма которых является простым числом?

Спрятать решение

Решение.

Сумма двух чётных натуральных чисел всегда чётна и больше двух, следовательно, не может быть простым числом. Поэтому пример множества из всех пятидесяти чётных чисел, не превосходящих 100 показывает, что минимальное n не меньше 51. С другой стороны, разобьём все натуральные числа от 1 до 100 на 50 пар, сумма чисел в каждой из которых равна простому числу 101: 1 и 100, 2 и 99, …, 50 и 51. Если в выбранном множестве не меньше 51 числа, то, по принципу Дирихле, хотя бы два из них попадут в одну пару, и их сумма будет простым числом.

Ответ: $n=51.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Пример, показывающий, что n больше 50.	2
Доказательство того, что в любом множестве из 51 различных натуральных чисел, не превосходящих 100, найдутся два, сумма которых является простым числом.	5
Идея примера, но он не приведен явно.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. Простые числа, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах, Комбинаторика, вероятность, статистика. Принцип Дирихле

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь