РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 257 Добавить в вариант

Найти все пары действительных значений a и b, при которых оба уравнения $x в квадрате плюс a x плюс b в квадрате =0$ и $x в квадрате плюс b x плюс a в квадрате =0$ имеют хотя бы один общий корень.

Спрятать решение

Решение.

Чтобы уравнения имели общий корень, необходимо, чтобы каждое из них имело корни, то есть их дискриминанты должны быть неотрицательны. Следовательно, $a в квадрате больше или равно 4 b в квадрате ,b в квадрате больше или равно 4 a в квадрате ,$ откуда $a в квадрате больше или равно 16 a в квадрате ,b в квадрате больше или равно 16 b в квадрате ,$ что возможно только при $a=b=0.$ В этом случае оба уравнения имеют общий корень 0.

Ответ: $a=b=0.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Присутствует утверждение о необходимости выполнения неравенств $a в квадрате \geq 4 b в квадрате ,b в квадрате \geq 4 a в квадрате .$	3
Упущена явная проверка того, что при $a=b=0$ уравнения действительно имеют общий корень, равный 0.	6
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Уравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь