сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В квад­рат АВСD впи­са­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся его сто­рон АВ, ВС, СD, DA в точ­ках P, Q, R и S со­от­вет­ствен­но. На от­рез­ках АР и АS взяты точки M и N так, что от­ре­зок MN ка­са­ет­ся впи­сан­ной окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что от­рез­ки МС и NR па­рал­лель­ны.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для удоб­ства вы­чис­ле­ний длину сто­ро­ны квад­ра­та при­мем рав­ной 2, обо­зна­чим длины от­рез­ков АN и АМ за x и y со­от­вет­ствен­но. Тогда от­рез­ки SN и РМ имеют длины 1 минус x и 1 минус y. По свой­ству ка­са­тель­ных из одной точки от­сю­да сле­ду­ет, что длина MN равна их сумме, то есть 2 минус x минус y. Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка AMN, даёт x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 2 минус x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , от­ку­да BM умно­жить на DN= левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус y пра­вая круг­лая скоб­ка =2. По­след­нее ра­вен­ство за­пи­шем как  дробь: чис­ли­тель: B M, зна­ме­на­тель: B C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: B M, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: D N конец дроби = дробь: чис­ли­тель: D R, зна­ме­на­тель: D N конец дроби , от­ку­да сразу сле­ду­ет по­до­бие пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков BMC и DRN, вле­ку­щее па­рал­лель­ность их ги­по­те­нуз МС и NR.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Вер­ное ре­ше­ние.7
По­лу­че­но со­от­но­ше­ние типа B M умно­жить на D N= левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус y пра­вая круг­лая скоб­ка =2.3
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из пе­ре­чис­лен­ных выше кри­те­ри­ев.0
Мак­си­маль­ный балл7