При­ведём сна­ча­ла при­мер уклад­ки 18 квад­ра­тов 2 на 2: 9 из них по­кры­ва­ют левый ниж­ний квад­рат раз­ме­ра 6 на 6 доски, а осталь­ные 9 по­кры­ва­ют пра­вый верх­ний квад­рат раз­ме­ра 6 на 6 доски.

До­ка­жем, что 19 квад­ра­тов пра­виль­но уло­жить нель­зя. За­ме­тим, что, если клет­ка доски, при­мы­ка­ю­щая к гра­ни­це, по­кры­ва­ет­ся двумя квад­ра­та­ми, то они пе­ре­се­ка­ют­ся ми­ни­мум по двум клет­кам, и, если клет­ка доски, не при­мы­ка­ю­щая к гра­ни­це, по­кры­ва­ет­ся тремя квад­ра­та­ми, то два из них пе­ре­се­ка­ют­ся ми­ни­мум по двум клет­кам. Сле­до­ва­тель­но, гра­нич­ные клет­ки доски могут быть по­кры­ты квад­ра­та­ми не более од­но­го раза, а внут­рен­ние  — не более двух. Сле­до­ва­тель­но, всего квад­ра­ты могут со­дер­жать не более кле­ток и всего квад­ра­тов не более штук.

Ответ: 18 квад­ра­тов.