Точка Q яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ник а ABC. Про­ве­дем бис­сек­три­су угла BAC, точку ее пе­ре­се­че­ния с опи­сан­ной около тре­уголь­ник а ABC окруж­но­стью обо­зна­чим бук­вой L, со­еди­ним точки C и Q.

По­сколь­ку дуги BL и CL равны и имеют меры Зна­чит, тре­уголь­ник BLC  — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му его ме­ди­ан а LM будет и его вы­со­той, то есть пря­мая LM яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром к сто­ро­не BC. Стало быть, точка O тоже лежит на пря­мой LM, при­чем, в силу того, что дуга BLC мень­ше π, точки O и L лежат в раз­ных по­лу­плос­ко­стях от­но­си­тель­но пря­мой BC.

Два­жды при­ме­няя тео­ре­му Ме­не­лая (в тре­уголь­ни­ке AML с се­ку­щей QS и в тре­уголь­ни­ке LOQ с се­ку­щей MS), имеем

Пе­ре­мно­жив эти два со­от­но­ше­ния, по­лу­ча­ем

Из дан­но­го в усло­вии за­да­чи ра­вен­ства сле­ду­ет, что

Кроме того, за­ме­тим, что тре­уголь­ник LOC рав­но­бед­рен­ный (в силу того, что от­рез­ки OL и OC яв­ля­ют­ся ра­ди­у­са­ми окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC). Од­на­ко, по­это­му он рав­но­сто­рон­ний; CM  — его вы­со­та, по­это­му CM и его ме­ди­а­на, стало быть, С уче­том этого ра­вен­ство (*) при­ни­ма­ет вид

Обо­зна­чим ве­ли­чи­ну угла ACB за тогда По свой­ствам впи­сан­ных углов

и, кроме того,

После этого на­хо­дим

Зна­чит, тре­уголь­ник LQC  — рав­но­бед­рен­ный, Тогда, поль­зу­ясь тео­ре­мой си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ALC, имеем

от­ку­да на­хо­дим

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 1,13 (точ­ное зна­че­ние: