Найдите все вещественные c, при которых сумма девятых степеней корней уравнения x2 − x + c = 0 равна нулю, и сумма пятнадцатых степеней тоже равна нулю. Замечание: корни могут быть комплексными.
Первое решение. Обозначим корни через x1 и x2 и воспользуемся теоремой Виетта. Задача переформулируется так: известно что 
и x1 + x2 = 1, найти x1x2.
Для начала заметим, что x1x2 ≠ 0, поскольку в противном случае одно из x1, x2 равно нулю, тогда 
влечет что и второе равно нулю, что противоречит 
Теперь посмотрим, что получится если сумму девятых степеней домножить на суммы шестых (ноль поскольку сумма девятых ноль) и вычесть сумму пятнадцатых (тоже ноль).
Поскольку c ≠ 0 имеем 
(!). С другой стороны
откуда 
Второе решение. Так же как в первом решении докажем равенство (!), вместо последнего шага сделаем следующее. Заметим, что если x1, x2 — действительные корни, то одновременное выполнение (!) и 
невозможно из-за монотонности куба.
Если x1, x2 не действительные то они сопряжены, тогда их кубы – тоже. Если сумма двух сопряженных чисел равна нулю, то их аргументы имеют вид 
то есть до возведения в куб аргумент имел вид 
или эквивалентно 
где m ∈ {1, 3, 5}. Обозначив аргумент через r имеем для тех случаев соответственно 
В первом случае 
два других невозможны поскольку аргумент – неотрицательное число. Получаем 
Ответ: 