Сюжет 3
Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает отрезок BC и луч AB в точках D и E соответственно. Точки M и N — середины отрезков AC и DE соответственно.
3.3 Точка 
на отрезке BD выбрана так, что DE = JE. Известно, что 
= 90°. Найдите отношение площадей треугольников ADJ и BEJ.
Пусть точки K, L и S середины отрезков DJ, BM и AB соответственно. Так как 
то 
Также треугольники ABM и MBE подобны, а EL и MS их медианы, проведенные из соответственных вершин. Поэтому 
откуда EL перпендикулярна SM. Но SM параллельна BC как средняя линия треугольника ABC. Следовательно, EL и BD — перпендикулярны, то есть точки E, K, L лежат на одной прямой. Поскольку точка K лежит на медиане ЕL треугольника BEM, то площади треугольников EMK и EBK равны. Также площади треугольников EKJ и EKD равны. Следовательно, площади треугольников BEJ и KDM равны. Но площадь треугольника ADJ в четыре раза больше площади треугольника KDM, так как высота из вершины A вдвое больше высоты из вершины M и 
Итого, искомое отношение 4.
Замечание: Можно доказать, что точки E, K, L лежат на одной прямой по-другому. Пусть прямые MK и BE пересекаются в точке P. Окружность, построенная на отрезке EC как на диаметре проходит через точки E, K, M, C. Поэтому
Значит, APDM вписанный, тогда
Тогда PD и BE, BM и BE — перпендикулярны между собой. Тогда BPDM — трапеция, из чего следует требуемое.
Ответ: 4.
Докажите, что 
счетом углов находим, что AD биссектриса 
Опустим перпендикуляр DH из точки D на прямую AB. Тогда 