РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2767 Добавить в вариант

Решить систему уравнений $система выражений дробь: числитель: синус x, знаменатель: синус y конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , дробь: числитель: косинус x, знаменатель: косинус y конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби . конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Запишем ОДЗ: $синус y не равно q 0$ и $косинус y не равно q 0 .$ Тогда

$система выражений косинус y = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x , дробь: числитель: синус x , знаменатель: синус y конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец системы . равносильно система выражений синус x=\pm корень из: начало аргумента: 1 минус косинус в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента x правая круглая скобка , синус y=\pm корень из: начало аргумента: 1 минус 3 косинус в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента x правая круглая скобка , конец системы .$

отсюда

$дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: синус в квадрате y конец дроби =3 равносильно дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: 1 минус 3 косинус в квадрате x конец дроби =3 равносильно 1 минус косинус в квадрате x=3 минус 9 косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно 8 косинус в квадрате x=2 равносильно косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно косинус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: синус в квадрате y конец дроби =3 равносильно дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: 1 минус 3 косинус в квадрате x конец дроби =3 равносильно$
$равносильно 1 минус косинус в квадрате x=3 минус 9 косинус в квадрате x равносильно 8 косинус в квадрате x=2 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно косинус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

следовательно, $косинус y=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ Значит,

$совокупность выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; косинус y= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; косинус y = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \Rightarrow совокупность выражений левая фигурная скобка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, y= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m правая фигурная скобка ; левая фигурная скобка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, y= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи l правая фигурная скобка , левая фигурная скобка x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи l, y= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи s правая фигурная скобка ; левая фигурная скобка x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи t, y= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи p правая фигурная скобка . конец совокупности .$ $совокупность выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; косинус y= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; косинус y = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \Rightarrow$
$\Rightarrow совокупность выражений левая фигурная скобка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, y= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m правая фигурная скобка ; левая фигурная скобка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, y= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи l правая фигурная скобка , левая фигурная скобка x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи l, y= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи s правая фигурная скобка ; левая фигурная скобка x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи t, y= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи p правая фигурная скобка . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m правая круглая скобка , левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи l правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи l; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи s правая круглая скобка , левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи t; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи p правая круглая скобка : m, l, s, p принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Олимпиада Газпром, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Система тригонометрических уравнений, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь