Пред­по­ло­жим, есть набор, у ко­то­ро­го мень­ше 23 боль­ших под­на­бо­ров. Тогда все на­бо­ры из 6 гирь боль­шие. В самом деле, путь под­на­бор без гири A с весом a  — не боль­шой. Тогда a > 1/3. У мно­же­ства шести гирь (всех кроме A) есть 2⁶ под­мно­жеств. Эти под­мно­же­ства раз­би­ва­ют­ся на пары с пу­стым пе­ре­се­че­ни­ем, да­ю­щие в объ­еди­не­нии все гири без A. Тогда в каж­дой паре хотя бы одно мно­же­ство весит не менее (1 − a)/2. То есть по­ло­ви­на, 2⁶/2 = 2⁵, из этих под­мно­жеств весит не менее (1 − a)/2. Тогда каж­дое мно­же­ство из этой по­ло­ви­ны в объ­еди­не­нии с A дает вес не менее (1 − a)/2 + a ≥ 2/3. Таким об­ра­зом, мы нашли 25 = 32 > 23 боль­ших на­бо­ра. Про­ти­во­ре­чие.

Итого, на дан­ный мо­мент мы нашли уже 8 боль­ших под­на­бо­ров: 7-эле­мент­ный и все семь 6-эле­мент­ных. По­смот­рим, какие 5-эле­мент­ные под­н­мо­же­ства могут не да­вать боль­шой под­на­бор.

До­пу­стим, все гири без гирь A, B – не боль­шой под­на­бор, и все без C, D – тоже не боль­шой под­на­бор (раз­ны­ми бук­ва­ми обо­зна­че­ны раз­ные гири). Тогда, рас­суж­дая ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю, по­лу­ча­ем, что у до­пол­не­ния к A, B есть 2⁵/2 = 2⁴ под­мно­жеств, да­ю­щих в объ­еди­не­нии с A, B боль­шой под­на­бор. То же самое с C, D: у до­пол­не­ния к C, D есть 2⁵/2 = 2⁴ под­мно­жеств, да­ю­щих в объ­еди­не­нии с C, D боль­шой под­на­бор. Рас­смот­рим объ­еди­не­ние этих под­на­бо­ров и оце­ним его мощ­ность. Если пер­вое мно­же­ство на­бо­ров это X, вто­рое  — это Y, то X ∩ Y ≤ 8. Дей­стви­тель­но, набор в пе­ре­се­че­нии X и Y вклю­ча­ет в себя A, B, C, D, и число спо­со­бов до­пол­нить его не­сколь­ки­ми из остав­ших­ся трех – не более 23 = 8. Итого, боль­ших под­на­бо­ров |X ∪ Y| = |X|+|Y| − |X ∩ Y| ≥ 16 + 16−8 = 24 > 23. Зна­чит, не су­ще­ству­ет таких не­пе­ре­се­ка­ю­щих­ся пар A, B и C, D, что их пя­ти­эле­мент­ные до­пол­не­ния – не боль­шие на­бо­ры. Или же, для любых двух 5-эле­мент­ных не боль­ших на­бо­ров их 2-эле­мент­ные до­пол­не­ния пе­ре­се­ка­ют­ся. Мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство по­пар­но пе­ре­се­ка­ю­щих­ся 2-эле­мент­ных под­мно­жеств мно­же­ства из 7 эле­мен­тов – 6. (В самом деле, пусть есть не­сколь­ко по­пар­но-пе­ре­се­ка­ю­щих­ся пар эле­мен­тов 7-эле­мент­но­го мно­же­ства. Если все пары со­дер­жат не­ко­то­рый один и тот же эле­мент, то пар не боль­ше чем осталь­ных эле­мен­тов, то есть 6. Пусть ни­ка­кой эле­мент не при­над­ле­жит всем парам. Рас­смот­рим две любые пары A, B и B, C. Долж­на най­тись пара, не со­дер­жа­щая A, но чтобы она пе­ре­се­ка­лась с пер­вы­ми двумя она долж­на быть парой B, C. Тогда боль­ше ни одной пары до­ба­вить нель­зя, итого в этом слу­чае пар не боль­ше чем 3.) От­сю­да су­ще­ству­ет хотя бы − 6 = 21 − 6 = 15 боль­ших пя­ти­эле­мент­ных под­на­бо­ра. Скла­ды­вая это ко­ли­че­ство с 8 (число уже най­ден­ных боль­ших под­на­бо­ров мощ­но­сти > 5), по­лу­ча­ем оцен­ку на хотя бы 23 под­на­бо­ра.

При­мер. Как видно из до­ка­за­тель­ства оцен­ки, самая тя­же­лая гиря долж­на ве­сить стро­го мень­ше стро­го боль­ше Возь­мем ее вес рав­ным или что то же самое Тогда если веса осталь­ных гирь взять рав­ны­ми, они по­лу­ча­ют­ся по Из под­на­бо­ров без пер­вой гири под­хо­дит толь­ко со­дер­жа­щий все осталь­ные. Из под­на­бо­ров с пер­вой гирей под­хо­дят гирь (пер­вая и че­ты­ре остав­ших­ся), гирь (пер­вая и пять остав­ших­ся) и гирь (пер­вая и все шесть остав­ших­ся). Итого, боль­ших под­на­бо­ров

Ответ: 23.