По­счи­та­ем левую часть иным об­ра­зом. Для каж­до­го эле­мен­та мно­же­ства из n эле­мен­тов по­счи­та­ем, в какое ко­ли­че­ство пе­ре­се­че­ний троек A_i ∩ A_j ∩ A_k он вхо­дит, и про­сум­ми­ру­ем эти ко­ли­че­ства по всем эле­мен­там. Легко ви­деть, что если эле­мент вхо­дит в a_i мно­жеств, то он вхо­дит ровно в a_i³ пе­ре­се­че­ний троек мно­жеств (в ка­че­стве пер­во­го мно­же­ства трой­ки го­дят­ся a_i мно­жеств, в ка­че­стве вто­рой и тре­тьей  — тоже a_i). Таким об­ра­зом, левая часть это n²(a₁³ + a₂³ + . . . + a_n³). Те­перь за­ме­тим, что a₁ + a₂ + . . . + a_n = |A₁| + · · · + |A_m|, так как обе суммы под­счи­ты­ва­ют двумя спо­со­ба­ми одну и ту же ве­ли­чи­ну: ко­ли­че­ство пар (мно­же­ство; эле­мент мно­же­ства). Итого, надо до­ка­зать:

По­след­нее не­ра­вен­ство рав­но­силь­но не­ра­вен­ству между сред­ним ку­би­че­ским и сред­ним ариф­ме­ти­че­ским:

За­ме­ча­ние. Это одна из лемм (Lemma 6) в ста­тье: https://arxiv.org/pdf/1808.08363.pdf.