сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a пло­щадь фи­гу­ры, за­дан­ной си­сте­мой не­ра­венств

си­сте­ма вы­ра­же­ний y\geqslant|x|,y мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: a плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус |x минус a| конец си­сте­мы .

а)  равна дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ? б) При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a пло­щадь фи­гу­ры будет наи­боль­шей?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Точка «из­ло­ма» гра­фи­ка функ­ции

y мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: a плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус |x минус a|

дви­га­ет­ся по пря­мой

си­сте­ма вы­ра­же­ний x=a, y= дробь: чис­ли­тель: a плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы .

то есть y= дробь: чис­ли­тель: x плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­стро­им гра­фи­ки функ­ций y= дробь: чис­ли­тель: x плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и y=|x|. Найдём их точки пе­ре­се­че­ния, для чего решим урав­не­ние

|x|= дробь: чис­ли­тель: x плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: x плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x= минус дробь: чис­ли­тель: x плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . дробь: чис­ли­тель: x плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно 0, конец со­во­куп­но­сти .

от­ку­да x=4 или x= минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Сле­до­ва­тель­но, си­сте­ма имеет ре­ше­ния при a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; 4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка (см. левый рис.).

По­стро­им гра­фи­ки гра­нич­ных функ­ций y=|x| и y= дробь: чис­ли­тель: a плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус |x минус a| (см. пра­вый рис.).

Опре­де­лим ко­ор­ди­на­ты вер­шин огра­ни­чи­ва­ю­ще­го пря­мо­уголь­ни­ка: O левая круг­лая скоб­ка 0; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , B левая круг­лая скоб­ка a; дробь: чис­ли­тель: a плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Найдём ко­ор­ди­на­ты точки А: для этого решим си­сте­му:

си­сте­ма вы­ра­же­ний y = минус x , y = дробь: чис­ли­тель: a плюс 4 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x минус a конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний y = минус x , минус x = дробь: чис­ли­тель: a плюс 4 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x минус a конец си­сте­мы . \Rightarrow си­сте­ма вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 4 минус a, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , y= дробь: чис­ли­тель: a минус 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец си­сте­мы . \Rightarrow A левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4 минус a, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: a минус 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Найдём ко­ор­ди­на­ты точки C: для этого решим си­сте­му:

си­сте­ма вы­ра­же­ний y = x , y = дробь: чис­ли­тель: a плюс 4 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . \Rightarrow си­сте­ма вы­ра­же­ний y=x, x= дробь: чис­ли­тель: a плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x плюс a конец си­сте­мы . \Rightarrow x=y= дробь: чис­ли­тель: 3 a плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

то есть C левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 a плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 a плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ис­ко­мая фи­гу­ра  — пря­мо­уголь­ник ОАВС. Тогда

B C= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x_В конец ар­гу­мен­та минус x_С пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y_В минус y_с пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: 3 a плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3 a плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a минус 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4 минус a, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4 минус a, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;

O C= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x_C конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс y_c в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 3 a плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

На­хо­дим пло­щадь:

S_O A B C=B C умно­жить на O C= дробь: чис­ли­тель: 4 минус a, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3 a плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 a плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

a) Ре­ша­ем урав­не­ние:

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 a плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 3 a в квад­ра­те минус 8 a плюс 4=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,a=2. конец со­во­куп­но­сти .

б)  Пло­щадь при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при a=a_вер­ши­ны, то есть при

минус a= дробь: чис­ли­тель: 4 плюс левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; 2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

БаллыУсло­вия
20Обос­но­ван­но по­лу­че­ны пра­виль­ные от­ве­ты на оба во­про­са за­да­чи.
15Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ толь­ко на один из во­про­сов за­да­чи.
10В целом вер­ное ре­ше­ние за­да­чи (хотя бы од­но­го из пунк­тов), но ответ от­ли­ча­ет­ся от вер­но­го из-за не­боль­шой ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.
5Верно по­стро­е­ны общие виды гра­фи­ков урав­не­ний и за­да­ча све­де­на к опре­де­ле­нию пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка (вто­рой ри­су­нок).
0За­да­ча не ре­ше­на или ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из вы­ше­пе­ре­чис­лен­ных усло­вий.
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024