РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2838 Добавить в вариант

Известно, что a, b и с  — натуральные числа, НОК (a, b)  =  945, НОК (b, c)  =  525. Чему может равняться НОК (a, c)?

Решение.

Разложим числа на простые множители, так как 3³ встречается только в $НОК левая круглая скобка a; b правая круглая скобка ,$ следовательно, $a\vdots 3 в кубе ,$ аналогично получаем, что $b\vdots5 в квадрате ,$ отсюда

$система выражений \text HOK левая круглая скобка a , b правая круглая скобка = 9 4 5 = 3 в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 7, \text HOK левая круглая скобка b , c правая круглая скобка = 5 2 5 = 3 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка умножить на 7 конец системы . равносильно система выражений a \vdots 3 в кубе b \vdots 5 в квадрате конец системы . равносильно НОК левая круглая скобка a, c правая круглая скобка \vdots левая круглая скобка 3 в кубе умножить на 5 в квадрате правая круглая скобка .$

Замечаем, что

$система выражений НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка , НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка b, c правая круглая скобка , НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка a, c правая круглая скобка конец системы . \Rightarrow НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка 945,525 правая круглая скобка \Rightarrow НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots левая круглая скобка 3 в кубе умножить на 5 в квадрате умножить на 7 правая круглая скобка .$ $система выражений НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка , НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка b, c правая круглая скобка , НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка a, c правая круглая скобка конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка 945,525 правая круглая скобка \Rightarrow НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots левая круглая скобка 3 в кубе умножить на 5 в квадрате умножить на 7 правая круглая скобка .$ $система выражений НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка , НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка b, c правая круглая скобка , НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка a, c правая круглая скобка конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка 945,525 правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots левая круглая скобка 3 в кубе умножить на 5 в квадрате умножить на 7 правая круглая скобка .$

Учитывая три факта:

$система выражений НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots левая круглая скобка 3 в кубе умножить на 5 в квадрате умножить на 7 правая круглая скобка , НОК левая круглая скобка a, b, c правая круглая скобка \vdots НОК левая круглая скобка a, c правая круглая скобка , НОК левая круглая скобка a, c правая круглая скобка \vdots левая круглая скобка 3 в кубе умножить на 5 в квадрате правая круглая скобка , конец системы .$

получаем, что $НОК левая круглая скобка a, c правая круглая скобка =3 в кубе умножить на 5 в квадрате ,$ например, при $a=3 в кубе умножить на 5,$ $b=7$ и $c=3 умножить на 5 в квадрате$ или $НОК левая круглая скобка a, c правая круглая скобка =3 в кубе умножить на 5 в квадрате умножить на 7,$ например, при $a=3 в кубе умножить на 5,$ $b=7$ и $c=3 умножить на 5 в квадрате умножить на 7.$

Ответ: 675 или 4725.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы
15	Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи.
12	При правильном ответе есть замечания к четкости его изложения и обоснования.
8	Верно приведен один из вариантов (треугольник прямоугольный или непрямоугольный).
0	Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям.

Олимпиада Шаг в будущее, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. НОД и НОК, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь