РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 284 Добавить в вариант

Найти все решения в целых числах уравнения: $x в кубе плюс y в кубе =2 в степени левая круглая скобка 30 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Покажем что, если $x в кубе плюс y в кубе$ равно степени двойки не ниже второй, то обе переменных должны быть чётными числами. Действительно, $x в кубе плюс y в кубе = левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x y плюс y в квадрате правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка ,n больше или равно 2$ если одна из переменных нечётна, то вторая тоже, так как сумма их кубов чётна. В таком случае вторая скобка в разложении будет нечётным целым числом, делящим степень двойки, то есть, $x в квадрате минус x y плюс y в квадрате =\pm 1.$ Рассматриваем последнее равенство как квадратное уравнение относительно x, если оно имеет решение, его дискриминант, равный $минус 3 y в квадрате \pm 4$ должен быть неотрицательным, что возможно только при $y=0,\pm 1.$ При y  =  0 получим $x в квадрате =\pm1,$ откуда $x=\pm1.$ При y  =  1 получим $x в квадрате минус x плюс 1=\pm 1,$ откуда $x=1,0.$ При y  =  −1 получим $x в квадрате плюс x плюс 1=\pm 1,$ откуда $x= минус 1,0.$ При нечётных x, y получаются две пары значений: (1, 1) и (−1, −1), для которых $x в кубе плюс y в кубе$ равно, соответственно, 2 и −2, поэтому подходит только первая пара (1, 1) и $x в кубе плюс y в кубе$ при это равно 2  — степени двойки ниже второй.

Рассмотрим теперь исходное уравнение. Ввиду доказанного, обе переменных чётные, поделив всё уравнение на 8, получим новое уравнение в целых числах $левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка дробь: числитель: y, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в кубе =227,$ в котором правая часть снова является степенью двойки выше первой. Продолжая в том же духе, дойдём до уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка дробь: числитель: y, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в кубе =1.$ Из решения уравнения $x в квадрате минус xy плюс y в квадрате =\pm1$ в предыдущей части с учётом $левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка дробь: числитель: y, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в кубе =1$ для $левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби , дробь: числитель: y, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка$ получаем (1, 0) или (0, 1), откуда (x, y) равно (x, y) или $левая круглая скобка 0,2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0,2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка , левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка ,0 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Показано, что, если $x в кубе плюс y в кубе$ равно степени двойки не ниже второй, то обе переменные должны быть чётными числами.	3
Использована идея десяти делений значений переменных на 2.	3
Решение уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка дробь: числитель: y, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в кубе =1.$	1
Только угаданы решения.	0
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах Диофантовы уравнения, Алгебра: числа. Чётность / нечётность

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь