На продолжении диаметра АВ полукруга за точку В взята произвольная точка С, через которую проведена касательная к этому полукругу, касающаяся его в точке Е. Пусть биссектриса угла ВСЕ пересекает хорды АЕ и ВЕ полукруга в точках К и М соответственно. Докажите, что треугольник КЕМ равнобедренный.
Угол между касательной ЕС и хордой ВЕ равен вписанному углу ЕАВ, опирающемуся на хорду ВЕ. Тогда в треугольниках АКС и ЕМС углы АКС и ЕМС равны, так как равны КСА и ЕСМ (ЕК — биссектриса угла ВСЕ). Значит, равны и дополнительные кним углы ЕКС = ЕКМ и ЕМК, являющиеся углами треугольника ЕКМ. Следовательно, треугольник ЕКМ равнобедренный и его боковые стороны ЕМ и ЕК равны.