РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2871 Добавить в вариант

Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника, две вершины которого лежат на оси x, а координаты двух других вершин удовлетворяют уравнению $корень из: начало аргумента: y конец аргумента =5 минус x в квадрате ?$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходное выражение:

$корень из: начало аргумента: y конец аргумента =5 минус x в квадрате равносильно y= левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка в квадрате равносильно |x| меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Вычислим площадь:

$S левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 x y=2 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 10 x в кубе плюс 25 x правая круглая скобка ,$

где $0 меньше или равно x меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$ Находим производную:

$S в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 левая круглая скобка 5 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 30 x в квадрате плюс 25 правая круглая скобка =0,$

отсюда

$10 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 6 x в квадрате плюс 5 правая круглая скобка =0 равносильно x в квадрате =3 \pm 2.$

При $левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка _1=5,$ получаем $S левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка =0.$ При $левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка _2=1,$ то есть $x_2=1,$ получаем $S левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =32$   — наибольшее значение площади прямоугольника.

Ответ: 32.

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Анализ. Производная и наибольшее / наименьшее значения

Спрятать решение · Помощь