РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 288 Добавить в вариант

В системе из трёх линейных уравнений $Ax плюс By плюс Cz=0,$ $Dx плюс Ey плюс Fz=0,$ $Gx плюс Hy плюс Iz=0$ от трёх переменных x, y, z коэффициенты А, Е, I  — положительны, а остальные отрицательны, и каждый из А, Е, I больше модуля суммы двух оставшихся коэффициентов того же уравнения. Докажите, что система имеет единственное решение $x=y=z=0.$

Спрятать решение

Решение.

Предположим, система имеет ненулевое (когда значение хотя бы одной переменной отлично от нуля) решение. Умножая его при необходимости на минус единицу, получим ненулевое решение, в котором значения хотя бы двух переменных неотрицательны. Далее рассмотрим два случая.

1)  Значения всех переменных неотрицательны. Выберем переменную, значение которой максимально и рассмотрим уравнение с тем же порядковым номером, что у этой переменной. Скажем, если максимально $x больше 0,$ то

противоречие. Остальные два случая рассматриваются аналогично.

2)  Среди значений переменных есть отрицательное. Скажем, если $x меньше 0,$ то $Ax плюс By плюс Cz меньше или равно Ax меньше 0$   — противоречие. Остальные два случая рассматриваются аналогично.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Сведение к случаю, когда значения хотя бы двух переменных неотрицательны (или не положительны).	1
Рассмотрение каждого из случаев 1) и 2).	3
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы линейных уравнений, Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах, Разное. Доказательство от противного

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь