РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2890 Добавить в вариант

Решить систему уравнений

$система выражений синус x плюс косинус y= дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x плюс y= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби . конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходное выражение:

$система выражений синус x плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус x= дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка синус x минус косинус x=1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $система выражений синус x плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус x= дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка синус x минус косинус x=1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Введем переменную t, тогда

$левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка дробь: числитель: 2 t, знаменатель: 1 плюс t в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 1 минус t в квадрате , знаменатель: 1 плюс t в квадрате конец дроби =1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента t в квадрате минус 2 левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно t_1, 2= дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка \pm корень из: начало аргумента: 4 левая круглая скобка 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента \pm корень из: начало аргумента: 4 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно совокупность выражений t_1= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2,t_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби . конец совокупности .$ $левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка дробь: числитель: 2 t, знаменатель: 1 плюс t в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 1 минус t в квадрате , знаменатель: 1 плюс t в квадрате конец дроби =1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента t в квадрате минус 2 левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно t_1, 2= дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка \pm корень из: начало аргумента: 4 левая круглая скобка 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента \pm корень из: начало аргумента: 4 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений t_1= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2,t_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби . конец совокупности .$ $левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка дробь: числитель: 2 t, знаменатель: 1 плюс t в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 1 минус t в квадрате , знаменатель: 1 плюс t в квадрате конец дроби =1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента t в квадрате минус 2 левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно t_1, 2= дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка \pm корень из: начало аргумента: 4 левая круглая скобка 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента \pm корень из: начало аргумента: 4 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений t_1= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2,t_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби . конец совокупности .$

Значит,

$совокупность выражений дробь: числитель: x , знаменатель: 2 конец дроби = арктангенс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка плюс Пи k, дробь: числитель: x , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит Z$

отсюда

$совокупность выражений x = 2 арктангенс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка плюс 2 Пи k, y = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 арктангенс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка минус 2 Пи n конец совокупности .$

или

$совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, y= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 Пи n. конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 2 арктангенс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 арктангенс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка минус 2 Пи n правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 Пи n правая круглая скобка : k, n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Олимпиада Газпром, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Система тригонометрических уравнений, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь