РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 29 Добавить в вариант

Можно ли из дробей $дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби , дробь: числитель: 2, знаменатель: 99 конец дроби , дробь: числитель: 3, знаменатель: 98 конец дроби , \ldots, дробь: числитель: 100, знаменатель: 1 конец дроби$ (все дроби с натуральными числителем и знаменателем, сумма числителя и знаменателя которых равна 101) выбрать три, произведение которых равно 1?

Спрятать решение

Решение.

Предположим противное, и найдутся три таких дроби $дробь: числитель: a, знаменатель: 101 минус a конец дроби ,$ $дробь: числитель: b, знаменатель: 101 минус b конец дроби ,$ $дробь: числитель: c, знаменатель: 101 минус c конец дроби ,$ $1 меньше или равно a меньше b меньше c меньше или равно 100,$ произведение которых равно 1. Тогда

$2abc=101 в кубе минус 101 в квадрате левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка плюс 101 левая круглая скобка ab плюс bc плюс ac правая круглая скобка ,$

правая часть равенства делится на 101, следовательно, и левая тоже. Ввиду простоты числа 101 отсюда следует, что одно из чисел должно делиться на 101, что невозможно, так как они меньше 101.

Ответ: Нет, нельзя.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Отсутствие прямого указания на простоту числа 101.	4
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Действия с числами, Алгебра. Суммы и произведения, Алгебра: числа. Простые числа, Разное. Доказательство от противного

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь