В треугольнике АВС взята точка Р такая, что сумма углов РВА и РСА равна сумме углов РВС и РСВ. Докажите, что расстояние от вершины А до точки Р не меньше расстояния от А до точки I — центра вписанной в АВС окружности, и если эти расстояния равны, то Р совпадает с I.
Из условия следует, что сумма углов РВА и РСА равна сумме углов РВС и РСВ и что обе они равны полусумме углов АВС и АСВ. Отсюда величина угла ВРС равна 90 плюс половина угла ВАС, что совпадает с величиной угла ВIС. Последнее означает, что точка Р лежит на описанной окружности треугольника ВIС. Докажем, что центр описанной окружности треугольника ВIС совпадает с точкой М пересечения биссектрисы АI и описанной окружности треугольника АВС (это хорошо известная «лемма о трезубце»). Покажем, что треугольники ВМI и СМI являются равнобедренными с равными МС, МВ и МI. Действительно, в треугольнике СМI угол СМI, равный СМА, равен углу АВС, как вписанный в описанную окружность треугольника АВС и опирающийся на хорду АС. Угол МСI состоит из ВСI, равного половине АСВ и ВСМ, равного половине ВАС, как вписанный в описанную окружность треугольника АВС и опирающийся на хорду ВМ. Сумма этих углов равна полусумме АСВ и ВАС, то есть 90 минус половина угла АВС. Следовательно, угол МIС равен разности 180 и суммы СМI и МСI, что так же равно 90 минус половина угла АВС, поэтому углы МIС и МСI равны. Аналогично доказывается равенство углов МIВ и МВI. Следовательно, длины МС, МВ и МI равны, поэтому М — центр описанной окружности треугольника ВIС. Ближайшей к А точкой этой окружности будет её пересечение с отрезком АM, то есть точка I. Следовательно, расстояние от А до Р, лежащей на этой окружности, не меньше длины AI, и равно ей только при совпадении Р и I, что и требовалось доказать.