РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 294 Добавить в вариант

При каком минимальном натуральном n найдутся n различных натуральных чисел $s_1,s_2,...,s_n$ таких, что

$левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: s_1 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: s_2 конец дроби правая круглая скобка ... левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: s_n конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 7, знаменатель: 66 конец дроби ?$

Спрятать решение

Решение.

Можно считать, что $1 меньше s_1 меньше s_2 меньше ... меньше s_n,$ тогда для произвольного $k=1,...,n$ выполняется неравенство $s_k больше или равно k плюс 1.$ Следовательно,

$дробь: числитель: 7, знаменатель: 66 конец дроби = левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: s_1 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: s_2 конец дроби правая круглая скобка ... левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: s_n конец дроби правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ... левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: n плюс 1 конец дроби правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ... умножить на дробь: числитель: n, знаменатель: n плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: n плюс 1 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7, знаменатель: 66 конец дроби =$
$= левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: s_1 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: s_2 конец дроби правая круглая скобка ... левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: s_n конец дроби правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ... левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: n плюс 1 конец дроби правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ... умножить на дробь: числитель: n, знаменатель: n плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: n плюс 1 конец дроби ,$

откуда $n\geqslant9.$ Пример девяти чисел, удовлетворяющих условию: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11.

Ответ: n  =  9.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Оценка $n больше или равно 9$ .	5
Пример девяти чисел, удовлетворяющих условию.	2
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах, Разное. Оценка плюс пример

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь