РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 299 Добавить в вариант

Найдите все четные натуральные числа n, у которых число делителей (включая 1 и само $n правая круглая скобка$ равно $дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби .$ (Например, число 12 имеет 6 делителей: 1,2,3,4,6,12.)

Спрятать решение

Решение.

Пусть каноническое разложение числа n имеет вид: $n=2 в степени левая круглая скобка t_1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка t_2 правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка t_3 правая круглая скобка умножить на ... умножить на p в степени левая круглая скобка t_k правая круглая скобка .$ Тогда количество делителей числа n равно $левая круглая скобка t_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t_2 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t_3 плюс 1 правая круглая скобка ... левая круглая скобка t_k плюс 1 правая круглая скобка .$ Из условия задачи имеем равенство:

$левая круглая скобка t_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t_2 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t_3 плюс 1 правая круглая скобка ... левая круглая скобка t_k плюс 1 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка t_1 минус 1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка t_2 правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка t_3 правая круглая скобка умножить на ... умножить на p в степени левая круглая скобка t_k правая круглая скобка . левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Заметим, что $2 в степени левая круглая скобка t_1 минус 1 правая круглая скобка больше t_1 плюс 1$ при $t_1 больше или равно 4,$ $3 в степени левая круглая скобка t_2 правая круглая скобка больше t_2 плюс 1$ при $t_2\geqslant1,...,$ $p в степени левая круглая скобка t_k правая круглая скобка больше t_k плюс 1$ при $t_k\geqslant1.$ Следовательно, $t_1$ может принимать значения 1, 2 или 3. Подставляя указанные значения в $левая круглая скобка * правая круглая скобка ,$ найдем, что $n=8$ или $n=12.$

Ответ: $левая фигурная скобка 8;12 правая фигурная скобка .$

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. Количество делителей

Спрятать решение · Помощь