РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3055 Добавить в вариант

Решить систему $система выражений логарифм по основанию 5 x = логарифм по основанию 5 y плюс логарифм по основанию целая часть: 5, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 ,2 в степени x умножить на 3 в степени y =108. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходную систему:

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , 2 в степени x умножить на 3 в степени y =108 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка y правая круглая скобка =2 в квадрате умножить на 3 в кубе конец системы . \Rightarrow система выражений 2 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 3 минус y правая круглая скобка ,2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка y правая круглая скобка =2 в квадрате умножить на 3 в кубе . конец системы .$

Пусть $x=2 t$ и $y=3 t,$ тогда $2 в степени левая круглая скобка 2 t минус 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 3 t минус 3 правая круглая скобка ,$ отсюда следует, что $2 в степени левая круглая скобка 2t минус 2 правая круглая скобка \uparrow$ и $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 3t минус 3 правая круглая скобка \downarrow,$ следовательно, $\exists!$ точка пересечения $t=1.$ Значит, $x=2$ и $y=3.$

Ответ: {(2; 3)}.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.

Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.

Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.

Олимпиада Гранит науки, 9, 10, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы комбинированные, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь