РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 3064 Добавить в вариант

Решите неравенство: $арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 Пи конец дроби арккосинус x правая круглая скобка больше арккосинус левая круглая скобка дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 Пи конец дроби арксинус x правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $u= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 Пи конец дроби арккосинус x$ и $v= дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 Пи конец дроби арксинус x.$ Тогда справедливо соотношение $4 u плюс 3 v=5.$ Решением неравенства $арксинус u больше арккосинус v$ является множество

$0 меньше или равно u меньше или равно 1,$ $\quad 0 меньше или равно v меньше или равно 1,$ $\quad u в квадрате плюс v в квадрате больше 1,$

на чертеже оно закрашено серым. Прямая $4 u плюс 3 v=5$ имеет общие точки с этим множеством  — это отрезок с выколотой точкой $u= дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби$ и $v= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$ Таким образом,

$u принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка равносильно арккосинус x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 25 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка ,$

откуда, с учетом убывания арккосинуса,

$x принадлежит левая квадратная скобка косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби ; косинус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка косинус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 25 конец дроби ; косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби ; косинус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка косинус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 25 конец дроби ; косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верно найдено решение неравенства относительно arccos x или arcsin x, но ответ относительно переменной x неверный ИЛИ в ответ включена выколотая точка	10
Задача верно сведена к решению системы уравнений и неравенств относительно u  =  arccos x и v  =  arcsin x, но эта система не решена ИЛИ в решении с применением тригонометрических функций к внешним аркфункциям задача верно сведена к неравенству на внутренние аркфункции, но не доведена до ответа.	5

Критерии оценивания

Балл

Верно найдено решение неравенства относительно arccos x или arcsin x, но ответ относительно переменной x неверный ИЛИ в ответ включена выколотая точка

Задача верно сведена к решению системы уравнений и неравенств относительно u  =  arccos x и v  =  arcsin x, но эта система не решена ИЛИ в решении с применением тригонометрических функций к внешним аркфункциям задача верно сведена к неравенству на внутренние аркфункции, но не доведена до ответа.

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические неравенства, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Использование геометрических интерпретаций, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь