Множество Х различных натуральных чисел, не превосходящих n таково, что сумма любых двух, в том числе и совпадающих, элементов Х, не превосходящая n, тоже принадлежит Х. Доказать, что среднее арифметическое всех чисел множества Х не меньше 
Обозначим элементы множества Х через 
Сначала рассмотрим сумму 
она больше xm и не может лежать в Х, следовательно, по условию 
Аналогично, для произвольного 
имеем: 
Если 
то все суммы 
будут k различными членами Х, большими 
что невозможно, поскольку больше 
только 
— 
элементов Х, противоречие. Следовательно, для каждого 
имеем 
При нечётном m в частности, 
Суммируя полученные равенства, получим 
откуда следует утверждение задачи.
.
.